Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59969 / 59395
↖ ↑ ↗
← S 81.095765°
E149.419555°		 ← 94.55 m → S 81.095765°
E149.425049°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
S 81.096615°
E149.419555°		 ← 94.54 m →
8 939 m²		 S 81.096615°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915061950683594 y=0.906303405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915061950683594 × 216)
    floor (0.915061950683594 × 65536)
    floor (59969.5)     		tx = 59969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906303405761719 × 216)
    floor (0.906303405761719 × 65536)
    floor (59395.5)     		ty = 59395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59969 / 59395 ti = "16/59969/59395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59969/59395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59969 ÷ 216
    59969 ÷ 65536     		x = 0.915054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59395 ÷ 216
    59395 ÷ 65536     		y = 0.906295776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915054321289062 × 2 - 1) × π
    0.830108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60786321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.812591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55283165236647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60786321} λ = 2.60786321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55283165236647))-π/2
    2×atan(0.0778608786109385)-π/2
    2×0.0777041093537436-π/2
    0.155408218707487-1.57079632675     		φ = -1.41538811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60786321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.419555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41538811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.095765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59969 KachelY 59395 2.60786321 -1.41538811 149.419555 -81.095765
    Oben rechts KachelX + 1 59970 KachelY 59395 2.60795909 -1.41538811 149.425049 -81.095765
    Unten links KachelX 59969 KachelY + 1 59396 2.60786321 -1.41540295 149.419555 -81.096615
    Unten rechts KachelX + 1 59970 KachelY + 1 59396 2.60795909 -1.41540295 149.425049 -81.096615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41538811--1.41540295) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41538811--1.41540295) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.41538811) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154783409317332 × 6371000     		do = 94.5496746608761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.41540295) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154768748145619 × 6371000     		du = 94.5407188624366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41538811)-sin(-1.41540295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154783409317332-0.154768748145619)×R²
    abs(2.60795909-2.60786321)×1.46611717131706e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46611717131706e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46611717131706e-05×40589641000000     		ar = 8938.83613715946m²