Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59969 / 59000
↖ ↑ ↗
← S 80.753556°
E149.419555°		 ← 98.15 m → S 80.753556°
E149.425049°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
S 80.754439°
E149.419555°		 ← 98.14 m →
9 630 m²		 S 80.754439°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915061950683594 y=0.900276184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915061950683594 × 216)
    floor (0.915061950683594 × 65536)
    floor (59969.5)     		tx = 59969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900276184082031 × 216)
    floor (0.900276184082031 × 65536)
    floor (59000.5)     		ty = 59000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59969 / 59000 ti = "16/59969/59000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59969/59000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59969 ÷ 216
    59969 ÷ 65536     		x = 0.915054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59000 ÷ 216
    59000 ÷ 65536     		y = 0.9002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915054321289062 × 2 - 1) × π
    0.830108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60786321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51496150166663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60786321} λ = 2.60786321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51496150166663))-π/2
    2×atan(0.0808660253539805)-π/2
    2×0.0806904443031874-π/2
    0.161380888606375-1.57079632675     		φ = -1.40941544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60786321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.419555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40941544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.753556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59969 KachelY 59000 2.60786321 -1.40941544 149.419555 -80.753556
    Oben rechts KachelX + 1 59970 KachelY 59000 2.60795909 -1.40941544 149.425049 -80.753556
    Unten links KachelX 59969 KachelY + 1 59001 2.60786321 -1.40943084 149.419555 -80.754439
    Unten rechts KachelX + 1 59970 KachelY + 1 59001 2.60795909 -1.40943084 149.425049 -80.754439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40941544--1.40943084) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dl = 98.1133999992847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40941544--1.40943084) × R
    1.53999999998877e-05 × 6371000     		dr = 98.1133999992847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.40941544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160681303402365 × 6371000     		do = 98.1524119915991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.40943084) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160666103485648 × 6371000     		du = 98.143127099977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40941544)-sin(-1.40943084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160681303402365-0.160666103485648)×R²
    abs(2.60795909-2.60786321)×1.51999167164463e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51999167164463e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51999167164463e-05×40589641000000     		ar = 9629.61137275814m²