Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59969 / 58990
↖ ↑ ↗
← S 80.744725°
E149.419555°		 ← 98.25 m → S 80.744725°
E149.425049°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 80.745609°
E149.419555°		 ← 98.24 m →
9 651 m²		 S 80.745609°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915061950683594 y=0.900123596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915061950683594 × 216)
    floor (0.915061950683594 × 65536)
    floor (59969.5)     		tx = 59969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900123596191406 × 216)
    floor (0.900123596191406 × 65536)
    floor (58990.5)     		ty = 58990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59969 / 58990 ti = "16/59969/58990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59969/58990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59969 ÷ 216
    59969 ÷ 65536     		x = 0.915054321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58990 ÷ 216
    58990 ÷ 65536     		y = 0.900115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915054321289062 × 2 - 1) × π
    0.830108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60786321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.80023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51400276367422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60786321} λ = 2.60786321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51400276367422))-π/2
    2×atan(0.0809435918618194)-π/2
    2×0.0807675063942856-π/2
    0.161535012788571-1.57079632675     		φ = -1.40926131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60786321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.419555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40926131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.744725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59969 KachelY 58990 2.60786321 -1.40926131 149.419555 -80.744725
    Oben rechts KachelX + 1 59970 KachelY 58990 2.60795909 -1.40926131 149.425049 -80.744725
    Unten links KachelX 59969 KachelY + 1 58991 2.60786321 -1.40927673 149.419555 -80.745609
    Unten rechts KachelX + 1 59970 KachelY + 1 58991 2.60795909 -1.40927673 149.425049 -80.745609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40926131--1.40927673) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40926131--1.40927673) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.40926131) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160833428780646 × 6371000     		do = 98.2453380040676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60786321-2.60795909) × cos(-1.40927673) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160818209505804 × 6371000     		du = 98.2360412875062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40926131)-sin(-1.40927673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160833428780646-0.160818209505804)×R²
    abs(2.60795909-2.60786321)×1.52192748414381e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52192748414381e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52192748414381e-05×40589641000000     		ar = 9651.2459084925m²