Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59968 / 27840
↖ ↑ ↗
← N 71.357067°
W 15.292969°		 ← 97.64 m → N 71.357067°
W 15.290222°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
N 71.356188°
W 15.292969°		 ← 97.64 m →
9 536 m²		 N 71.356188°
W 15.290222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457523345947266 y=0.212406158447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457523345947266 × 217)
    floor (0.457523345947266 × 131072)
    floor (59968.5)     		tx = 59968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212406158447266 × 217)
    floor (0.212406158447266 × 131072)
    floor (27840.5)     		ty = 27840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59968 / 27840 ti = "17/59968/27840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59968/27840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59968 ÷ 217
    59968 ÷ 131072     		x = 0.45751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27840 ÷ 217
    27840 ÷ 131072     		y = 0.21240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26691266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21240234375 × 2 - 1) × π
    0.5751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80702936807764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26691266} λ = -0.26691266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80702936807764))-π/2
    2×atan(6.0923224766432)-π/2
    2×1.40810604131704-π/2
    2.81621208263409-1.57079632675     		φ = 1.24541576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26691266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.292969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24541576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.357067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59968 KachelY 27840 -0.26691266 1.24541576 -15.292969 71.357067
    Oben rechts KachelX + 1 59969 KachelY 27840 -0.26686472 1.24541576 -15.290222 71.357067
    Unten links KachelX 59968 KachelY + 1 27841 -0.26691266 1.24540043 -15.292969 71.356188
    Unten rechts KachelX + 1 59969 KachelY + 1 27841 -0.26686472 1.24540043 -15.290222 71.356188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24541576-1.24540043) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24541576-1.24540043) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26691266--0.26686472) × cos(1.24541576) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.31966940712501 × 6371000     		do = 97.6352652265665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26691266--0.26686472) × cos(1.24540043) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.319683932709155 × 6371000     		du = 97.6397017138529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24541576)-sin(1.24540043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31966940712501-0.319683932709155)×R²
    abs(-0.26686472--0.26691266)×1.45255841449976e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.45255841449976e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.45255841449976e-05×40589641000000     		ar = 9536.0020823476m²