Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59967 / 59251
↖ ↑ ↗
← S 80.972490°
E149.408570°		 ← 95.84 m → S 80.972490°
E149.414063°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
S 80.973352°
E149.408570°		 ← 95.83 m →
9 183 m²		 S 80.973352°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915031433105469 y=0.904106140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915031433105469 × 216)
    floor (0.915031433105469 × 65536)
    floor (59967.5)     		tx = 59967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904106140136719 × 216)
    floor (0.904106140136719 × 65536)
    floor (59251.5)     		ty = 59251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59967 / 59251 ti = "16/59967/59251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59967/59251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59967 ÷ 216
    59967 ÷ 65536     		x = 0.915023803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59251 ÷ 216
    59251 ÷ 65536     		y = 0.904098510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915023803710938 × 2 - 1) × π
    0.830047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60767147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904098510742188 × 2 - 1) × π
    -0.808197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53902582527589
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60767147} λ = 2.60767147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53902582527589))-π/2
    2×atan(0.0789432668788404)-π/2
    2×0.0787798848509055-π/2
    0.157559769701811-1.57079632675     		φ = -1.41323656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60767147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.408570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41323656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.972490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59967 KachelY 59251 2.60767147 -1.41323656 149.408570 -80.972490
    Oben rechts KachelX + 1 59968 KachelY 59251 2.60776734 -1.41323656 149.414063 -80.972490
    Unten links KachelX 59967 KachelY + 1 59252 2.60767147 -1.41325160 149.408570 -80.973352
    Unten rechts KachelX + 1 59968 KachelY + 1 59252 2.60776734 -1.41325160 149.414063 -80.973352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41323656--1.41325160) × R
    1.50399999998552e-05 × 6371000     		dl = 95.8198399990773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41323656--1.41325160) × R
    1.50399999998552e-05 × 6371000     		dr = 95.8198399990773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60767147-2.60776734) × cos(-1.41323656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156908669858398 × 6371000     		do = 95.837896556475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60767147-2.60776734) × cos(-1.41325160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156893816139369 × 6371000     		du = 95.8288240865531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41323656)-sin(-1.41325160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156908669858398-0.156893816139369)×R²
    abs(2.60776734-2.60767147)×1.48537190289288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48537190289288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48537190289288e-05×40589641000000     		ar = 9182.73725289773m²