Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59967 / 58767
↖ ↑ ↗
← S 80.545616°
E149.408570°		 ← 100.33 m → S 80.545616°
E149.414063°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 80.546518°
E149.408570°		 ← 100.32 m →
10 067 m²		 S 80.546518°
E149.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915031433105469 y=0.896720886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915031433105469 × 216)
    floor (0.915031433105469 × 65536)
    floor (59967.5)     		tx = 59967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896720886230469 × 216)
    floor (0.896720886230469 × 65536)
    floor (58767.5)     		ty = 58767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59967 / 58767 ti = "16/59967/58767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59967/58767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59967 ÷ 216
    59967 ÷ 65536     		x = 0.915023803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58767 ÷ 216
    58767 ÷ 65536     		y = 0.896713256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915023803710938 × 2 - 1) × π
    0.830047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60767147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896713256835938 × 2 - 1) × π
    -0.793426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49262290644368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60767147} λ = 2.60767147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49262290644368))-π/2
    2×atan(0.082692786435701)-π/2
    2×0.0825050689179409-π/2
    0.165010137835882-1.57079632675     		φ = -1.40578619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60767147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.408570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40578619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.545616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59967 KachelY 58767 2.60767147 -1.40578619 149.408570 -80.545616
    Oben rechts KachelX + 1 59968 KachelY 58767 2.60776734 -1.40578619 149.414063 -80.545616
    Unten links KachelX 59967 KachelY + 1 58768 2.60767147 -1.40580194 149.408570 -80.546518
    Unten rechts KachelX + 1 59968 KachelY + 1 58768 2.60776734 -1.40580194 149.414063 -80.546518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40578619--1.40580194) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40578619--1.40580194) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60767147-2.60776734) × cos(-1.40578619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164262330102592 × 6371000     		do = 100.329422298364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60767147-2.60776734) × cos(-1.40580194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164246794019347 × 6371000     		du = 100.319933048724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40578619)-sin(-1.40580194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164262330102592-0.164246794019347)×R²
    abs(2.60776734-2.60767147)×1.55360832452822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55360832452822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55360832452822e-05×40589641000000     		ar = 10066.904213187m²