Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59964 / 39100
↖ ↑ ↗
← N 58.545328°
W 15.303955°		 ← 159.35 m → N 58.545328°
W 15.301209°		 →
↑
159.40 m
↓
↑
159.40 m
↓
N 58.543895°
W 15.303955°		 ← 159.35 m →
25 401 m²		 N 58.543895°
W 15.301209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457492828369141 y=0.298313140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457492828369141 × 217)
    floor (0.457492828369141 × 131072)
    floor (59964.5)     		tx = 59964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298313140869141 × 217)
    floor (0.298313140869141 × 131072)
    floor (39100.5)     		ty = 39100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59964 / 39100 ti = "17/59964/39100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59964/39100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59964 ÷ 217
    59964 ÷ 131072     		x = 0.457489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39100 ÷ 217
    39100 ÷ 131072     		y = 0.298309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457489013671875 × 2 - 1) × π
    -0.08502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26710440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298309326171875 × 2 - 1) × π
    0.40338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2672598783558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26710440} λ = -0.26710440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2672598783558))-π/2
    2×atan(3.5511087488913)-π/2
    2×1.29630253244594-π/2
    2.59260506489189-1.57079632675     		φ = 1.02180874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26710440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.303955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02180874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.545328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59964 KachelY 39100 -0.26710440 1.02180874 -15.303955 58.545328
    Oben rechts KachelX + 1 59965 KachelY 39100 -0.26705647 1.02180874 -15.301209 58.545328
    Unten links KachelX 59964 KachelY + 1 39101 -0.26710440 1.02178372 -15.303955 58.543895
    Unten rechts KachelX + 1 59965 KachelY + 1 39101 -0.26705647 1.02178372 -15.301209 58.543895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02180874-1.02178372) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dl = 159.402420000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02180874-1.02178372) × R
    2.50200000000422e-05 × 6371000     		dr = 159.402420000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26710440--0.26705647) × cos(1.02180874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.521823854122211 × 6371000     		do = 159.34519139728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26710440--0.26705647) × cos(1.02178372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.521845197351456 × 6371000     		du = 159.351708809089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02180874)-sin(1.02178372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521823854122211-0.521845197351456)×R²
    abs(-0.26705647--0.26710440)×2.13432292448523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13432292448523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13432292448523e-05×40589641000000     		ar = 25400.5285712305m²