Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59963 / 59249
↖ ↑ ↗
← S 80.970766°
E149.386597°		 ← 95.86 m → S 80.970766°
E149.392090°		 →
↑
95.82 m
↓
↑
95.82 m
↓
S 80.971628°
E149.386597°		 ← 95.85 m →
9 184 m²		 S 80.971628°
E149.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914970397949219 y=0.904075622558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914970397949219 × 216)
    floor (0.914970397949219 × 65536)
    floor (59963.5)     		tx = 59963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904075622558594 × 216)
    floor (0.904075622558594 × 65536)
    floor (59249.5)     		ty = 59249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59963 / 59249 ti = "16/59963/59249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59963/59249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59963 ÷ 216
    59963 ÷ 65536     		x = 0.914962768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59249 ÷ 216
    59249 ÷ 65536     		y = 0.904067993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914962768554688 × 2 - 1) × π
    0.829925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60728797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904067993164062 × 2 - 1) × π
    -0.808135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53883407767741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60728797} λ = 2.60728797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53883407767741))-π/2
    2×atan(0.0789584055120325)-π/2
    2×0.078794929705987-π/2
    0.157589859411974-1.57079632675     		φ = -1.41320647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60728797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.386597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41320647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.970766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59963 KachelY 59249 2.60728797 -1.41320647 149.386597 -80.970766
    Oben rechts KachelX + 1 59964 KachelY 59249 2.60738384 -1.41320647 149.392090 -80.970766
    Unten links KachelX 59963 KachelY + 1 59250 2.60728797 -1.41322151 149.386597 -80.971628
    Unten rechts KachelX + 1 59964 KachelY + 1 59250 2.60738384 -1.41322151 149.392090 -80.971628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41320647--1.41322151) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dl = 95.8198400004919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41320647--1.41322151) × R
    1.50400000000772e-05 × 6371000     		dr = 95.8198400004919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60728797-2.60738384) × cos(-1.41320647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156938387066058 × 6371000     		do = 95.8560474634722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60728797-2.60738384) × cos(-1.41322151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156923533418042 × 6371000     		du = 95.846975036924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41320647)-sin(-1.41322151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156938387066058-0.156923533418042)×R²
    abs(2.60738384-2.60728797)×1.48536480162054e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48536480162054e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48536480162054e-05×40589641000000     		ar = 9184.47647209988m²