Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59962 / 59406
↖ ↑ ↗
← S 81.105113°
E149.381104°		 ← 94.44 m → S 81.105113°
E149.386597°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
S 81.105962°
E149.381104°		 ← 94.43 m →
8 917 m²		 S 81.105962°
E149.386597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914955139160156 y=0.906471252441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914955139160156 × 216)
    floor (0.914955139160156 × 65536)
    floor (59962.5)     		tx = 59962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906471252441406 × 216)
    floor (0.906471252441406 × 65536)
    floor (59406.5)     		ty = 59406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59962 / 59406 ti = "16/59962/59406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59962/59406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59962 ÷ 216
    59962 ÷ 65536     		x = 0.914947509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59406 ÷ 216
    59406 ÷ 65536     		y = 0.906463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914947509765625 × 2 - 1) × π
    0.82989501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60719210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.81292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55388626415811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60719210} λ = 2.60719210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55388626415811))-π/2
    2×atan(0.0777788088937001)-π/2
    2×0.0776225336531261-π/2
    0.155245067306252-1.57079632675     		φ = -1.41555126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60719210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.381104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41555126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.105113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59962 KachelY 59406 2.60719210 -1.41555126 149.381104 -81.105113
    Oben rechts KachelX + 1 59963 KachelY 59406 2.60728797 -1.41555126 149.386597 -81.105113
    Unten links KachelX 59962 KachelY + 1 59407 2.60719210 -1.41556608 149.381104 -81.105962
    Unten rechts KachelX + 1 59963 KachelY + 1 59407 2.60728797 -1.41556608 149.386597 -81.105962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41555126--1.41556608) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41555126--1.41556608) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60719210-2.60728797) × cos(-1.41555126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154622223472028 × 6371000     		do = 94.4413630669196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60719210-2.60728797) × cos(-1.41556608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154607581685294 × 6371000     		du = 94.4324200426513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41555126)-sin(-1.41556608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154622223472028-0.154607581685294)×R²
    abs(2.60728797-2.60719210)×1.46417867344095e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46417867344095e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46417867344095e-05×40589641000000     		ar = 8916.56320301132m²