Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59961 / 59704
↖ ↑ ↗
← S 81.354684°
E149.375610°		 ← 91.82 m → S 81.354684°
E149.381104°		 →
↑
91.81 m
↓
↑
91.81 m
↓
S 81.355510°
E149.375610°		 ← 91.81 m →
8 429 m²		 S 81.355510°
E149.381104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914939880371094 y=0.911018371582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914939880371094 × 216)
    floor (0.914939880371094 × 65536)
    floor (59961.5)     		tx = 59961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911018371582031 × 216)
    floor (0.911018371582031 × 65536)
    floor (59704.5)     		ty = 59704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59961 / 59704 ti = "16/59961/59704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59961/59704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59961 ÷ 216
    59961 ÷ 65536     		x = 0.914932250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59704 ÷ 216
    59704 ÷ 65536     		y = 0.9110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914932250976562 × 2 - 1) × π
    0.829864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60709622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58245665633167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60709622} λ = 2.60709622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58245665633167))-π/2
    2×atan(0.0755880818030922)-π/2
    2×0.0754446143427262-π/2
    0.150889228685452-1.57079632675     		φ = -1.41990710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60709622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.375610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41990710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.354684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59961 KachelY 59704 2.60709622 -1.41990710 149.375610 -81.354684
    Oben rechts KachelX + 1 59962 KachelY 59704 2.60719210 -1.41990710 149.381104 -81.354684
    Unten links KachelX 59961 KachelY + 1 59705 2.60709622 -1.41992151 149.375610 -81.355510
    Unten rechts KachelX + 1 59962 KachelY + 1 59705 2.60719210 -1.41992151 149.381104 -81.355510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41990710--1.41992151) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dl = 91.8061099994216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41990710--1.41992151) × R
    1.44099999999092e-05 × 6371000     		dr = 91.8061099994216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60709622-2.60719210) × cos(-1.41990710) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150317315012069 × 6371000     		do = 91.8215543446882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60709622-2.60719210) × cos(-1.41992151) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.150303068725727 × 6371000     		du = 91.8128519795917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41990710)-sin(-1.41992151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150317315012069-0.150303068725727)×R²
    abs(2.60719210-2.60709622)×1.42462863420012e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.42462863420012e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.42462863420012e-05×40589641000000     		ar = 8429.38025326806m²