Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59961 / 58741
↖ ↑ ↗
← S 80.522127°
E149.375610°		 ← 100.59 m → S 80.522127°
E149.381104°		 →
↑
100.53 m
↓
↑
100.53 m
↓
S 80.523031°
E149.375610°		 ← 100.58 m →
10 112 m²		 S 80.523031°
E149.381104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914939880371094 y=0.896324157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914939880371094 × 216)
    floor (0.914939880371094 × 65536)
    floor (59961.5)     		tx = 59961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896324157714844 × 216)
    floor (0.896324157714844 × 65536)
    floor (58741.5)     		ty = 58741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59961 / 58741 ti = "16/59961/58741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59961/58741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59961 ÷ 216
    59961 ÷ 65536     		x = 0.914932250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58741 ÷ 216
    58741 ÷ 65536     		y = 0.896316528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914932250976562 × 2 - 1) × π
    0.829864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60709622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896316528320312 × 2 - 1) × π
    -0.792633056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.49013018766344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60709622} λ = 2.60709622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49013018766344))-π/2
    2×atan(0.0828991734229315)-π/2
    2×0.082710050718494-π/2
    0.165420101436988-1.57079632675     		φ = -1.40537623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60709622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.375610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40537623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.522127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59961 KachelY 58741 2.60709622 -1.40537623 149.375610 -80.522127
    Oben rechts KachelX + 1 59962 KachelY 58741 2.60719210 -1.40537623 149.381104 -80.522127
    Unten links KachelX 59961 KachelY + 1 58742 2.60709622 -1.40539201 149.375610 -80.523031
    Unten rechts KachelX + 1 59962 KachelY + 1 58742 2.60719210 -1.40539201 149.381104 -80.523031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40537623--1.40539201) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dl = 100.534380000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40537623--1.40539201) × R
    1.57800000000208e-05 × 6371000     		dr = 100.534380000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60709622-2.60719210) × cos(-1.40537623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164666707674067 × 6371000     		do = 100.586902089365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60709622-2.60719210) × cos(-1.40539201) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164651143062142 × 6371000     		du = 100.577394423135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40537623)-sin(-1.40539201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164666707674067-0.164651143062142)×R²
    abs(2.60719210-2.60709622)×1.55646119253117e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.55646119253117e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55646119253117e-05×40589641000000     		ar = 10111.9639145187m²