Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59961 / 41471
↖ ↑ ↗
← N 54.979190°
W 15.312195°		 ← 175.28 m → N 54.979190°
W 15.309448°		 →
↑
175.27 m
↓
↑
175.27 m
↓
N 54.977613°
W 15.312195°		 ← 175.28 m →
30 721 m²		 N 54.977613°
W 15.309448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457469940185547 y=0.316402435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457469940185547 × 217)
    floor (0.457469940185547 × 131072)
    floor (59961.5)     		tx = 59961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316402435302734 × 217)
    floor (0.316402435302734 × 131072)
    floor (41471.5)     		ty = 41471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59961 / 41471 ti = "17/59961/41471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59961/41471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59961 ÷ 217
    59961 ÷ 131072     		x = 0.457466125488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41471 ÷ 217
    41471 ÷ 131072     		y = 0.316398620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457466125488281 × 2 - 1) × π
    -0.0850677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26724822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316398620605469 × 2 - 1) × π
    0.367202758789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.15360148935665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26724822} λ = -0.26724822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15360148935665))-π/2
    2×atan(3.16958761447781)-π/2
    2×1.26518210524774-π/2
    2.53036421049548-1.57079632675     		φ = 0.95956788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26724822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.312195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95956788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.979190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59961 KachelY 41471 -0.26724822 0.95956788 -15.312195 54.979190
    Oben rechts KachelX + 1 59962 KachelY 41471 -0.26720028 0.95956788 -15.309448 54.979190
    Unten links KachelX 59961 KachelY + 1 41472 -0.26724822 0.95954037 -15.312195 54.977613
    Unten rechts KachelX + 1 59962 KachelY + 1 41472 -0.26720028 0.95954037 -15.309448 54.977613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95956788-0.95954037) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dl = 175.266210000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95956788-0.95954037) × R
    2.75100000000084e-05 × 6371000     		dr = 175.266210000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26724822--0.26720028) × cos(0.95956788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573873921575903 × 6371000     		do = 175.275867163907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26724822--0.26720028) × cos(0.95954037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573896450498898 × 6371000     		du = 175.282748076884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95956788)-sin(0.95954037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573873921575903-0.573896450498898)×R²
    abs(-0.26720028--0.26724822)×2.25289229950354e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25289229950354e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25289229950354e-05×40589641000000     		ar = 30720.5399400532m²