Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59959 / 41488
↖ ↑ ↗
← N 54.952386°
W 15.317688°		 ← 175.39 m → N 54.952386°
W 15.314941°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
N 54.950808°
W 15.317688°		 ← 175.40 m →
30 763 m²		 N 54.950808°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457454681396484 y=0.316532135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457454681396484 × 217)
    floor (0.457454681396484 × 131072)
    floor (59959.5)     		tx = 59959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316532135009766 × 217)
    floor (0.316532135009766 × 131072)
    floor (41488.5)     		ty = 41488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59959 / 41488 ti = "17/59959/41488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59959/41488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59959 ÷ 217
    59959 ÷ 131072     		x = 0.457450866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41488 ÷ 217
    41488 ÷ 131072     		y = 0.3165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457450866699219 × 2 - 1) × π
    -0.0850982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26734409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3165283203125 × 2 - 1) × π
    0.366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15278656206311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26734409} λ = -0.26734409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15278656206311))-π/2
    2×atan(3.16700568320753)-π/2
    2×1.26494819445168-π/2
    2.52989638890335-1.57079632675     		φ = 0.95910006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26734409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.317688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95910006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.952386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59959 KachelY 41488 -0.26734409 0.95910006 -15.317688 54.952386
    Oben rechts KachelX + 1 59960 KachelY 41488 -0.26729615 0.95910006 -15.314941 54.952386
    Unten links KachelX 59959 KachelY + 1 41489 -0.26734409 0.95907253 -15.317688 54.950808
    Unten rechts KachelX + 1 59960 KachelY + 1 41489 -0.26729615 0.95907253 -15.314941 54.950808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95910006-0.95907253) × R
    2.75299999999978e-05 × 6371000     		dl = 175.393629999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95910006-0.95907253) × R
    2.75299999999978e-05 × 6371000     		dr = 175.393629999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26734409--0.26729615) × cos(0.95910006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574256976988312 × 6371000     		do = 175.392862146703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26734409--0.26729615) × cos(0.95907253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574279514896282 × 6371000     		du = 175.399745803923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95910006)-sin(0.95907253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574256976988312-0.574279514896282)×R²
    abs(-0.26729615--0.26734409)×2.25379079696886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25379079696886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25379079696886e-05×40589641000000     		ar = 30763.3944446477m²