Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59959 / 30205
↖ ↑ ↗
← N 69.165489°
W 15.317688°		 ← 108.63 m → N 69.165489°
W 15.314941°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 69.164512°
W 15.317688°		 ← 108.64 m →
11 800 m²		 N 69.164512°
W 15.314941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457454681396484 y=0.230449676513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457454681396484 × 217)
    floor (0.457454681396484 × 131072)
    floor (59959.5)     		tx = 59959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230449676513672 × 217)
    floor (0.230449676513672 × 131072)
    floor (30205.5)     		ty = 30205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59959 / 30205 ti = "17/59959/30205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59959/30205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59959 ÷ 217
    59959 ÷ 131072     		x = 0.457450866699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30205 ÷ 217
    30205 ÷ 131072     		y = 0.230445861816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457450866699219 × 2 - 1) × π
    -0.0850982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26734409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230445861816406 × 2 - 1) × π
    0.539108276367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.6936586004762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26734409} λ = -0.26734409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6936586004762))-π/2
    2×atan(5.43934473493697)-π/2
    2×1.38898091698038-π/2
    2.77796183396076-1.57079632675     		φ = 1.20716551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26734409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.317688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20716551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.165489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59959 KachelY 30205 -0.26734409 1.20716551 -15.317688 69.165489
    Oben rechts KachelX + 1 59960 KachelY 30205 -0.26729615 1.20716551 -15.314941 69.165489
    Unten links KachelX 59959 KachelY + 1 30206 -0.26734409 1.20714846 -15.317688 69.164512
    Unten rechts KachelX + 1 59960 KachelY + 1 30206 -0.26729615 1.20714846 -15.314941 69.164512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20716551-1.20714846) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20716551-1.20714846) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26734409--0.26729615) × cos(1.20716551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355669973731545 × 6371000     		do = 108.630764922667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26734409--0.26729615) × cos(1.20714846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355685908807873 × 6371000     		du = 108.635631905146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20716551)-sin(1.20714846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355669973731545-0.355685908807873)×R²
    abs(-0.26729615--0.26734409)×1.59350763278554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59350763278554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59350763278554e-05×40589641000000     		ar = 11800.3409263097m²