Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59958 / 55866
↖ ↑ ↗
← N 25.656382°
W 15.320435°		 ← 275.31 m → N 25.656382°
W 15.317688°		 →
↑
275.29 m
↓
↑
275.29 m
↓
N 25.653906°
W 15.320435°		 ← 275.32 m →
75 792 m²		 N 25.653906°
W 15.317688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457447052001953 y=0.426227569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457447052001953 × 217)
    floor (0.457447052001953 × 131072)
    floor (59958.5)     		tx = 59958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426227569580078 × 217)
    floor (0.426227569580078 × 131072)
    floor (55866.5)     		ty = 55866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59958 / 55866 ti = "17/59958/55866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59958/55866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59958 ÷ 217
    59958 ÷ 131072     		x = 0.457443237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55866 ÷ 217
    55866 ÷ 131072     		y = 0.426223754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457443237304688 × 2 - 1) × π
    -0.085113525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26739203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    0.147552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.463549819325943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26739203} λ = -0.26739203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463549819325943))-π/2
    2×atan(1.58970715389065)-π/2
    2×1.00929233364105-π/2
    2.0185846672821-1.57079632675     		φ = 0.44778834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26739203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.320435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44778834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.656382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59958 KachelY 55866 -0.26739203 0.44778834 -15.320435 25.656382
    Oben rechts KachelX + 1 59959 KachelY 55866 -0.26734409 0.44778834 -15.317688 25.656382
    Unten links KachelX 59958 KachelY + 1 55867 -0.26739203 0.44774513 -15.320435 25.653906
    Unten rechts KachelX + 1 59959 KachelY + 1 55867 -0.26734409 0.44774513 -15.317688 25.653906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44778834-0.44774513) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dl = 275.2909100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44778834-0.44774513) × R
    4.32100000000157e-05 × 6371000     		dr = 275.2909100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26739203--0.26734409) × cos(0.44778834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901406895201023 × 6371000     		do = 275.312868008013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26739203--0.26734409) × cos(0.44774513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.901425603122365 × 6371000     		du = 275.318581888733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44778834)-sin(0.44774513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901406895201023-0.901425603122365)×R²
    abs(-0.26734409--0.26739203)×1.870792134262e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.870792134262e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.870792134262e-05×40589641000000     		ar = 75791.9164702042m²