Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59957 / 59453
↖ ↑ ↗
← S 81.144944°
E149.353638°		 ← 94.02 m → S 81.144944°
E149.359131°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
S 81.145790°
E149.353638°		 ← 94.01 m →
8 841 m²		 S 81.145790°
E149.359131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914878845214844 y=0.907188415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914878845214844 × 216)
    floor (0.914878845214844 × 65536)
    floor (59957.5)     		tx = 59957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907188415527344 × 216)
    floor (0.907188415527344 × 65536)
    floor (59453.5)     		ty = 59453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59957 / 59453 ti = "16/59957/59453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59957/59453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59957 ÷ 216
    59957 ÷ 65536     		x = 0.914871215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59453 ÷ 216
    59453 ÷ 65536     		y = 0.907180786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914871215820312 × 2 - 1) × π
    0.829742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60671273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907180786132812 × 2 - 1) × π
    -0.814361572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5583923327224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60671273} λ = 2.60671273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5583923327224))-π/2
    2×atan(0.0774291206991583)-π/2
    2×0.0772749388086654-π/2
    0.154549877617331-1.57079632675     		φ = -1.41624645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60671273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.353638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41624645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.144944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59957 KachelY 59453 2.60671273 -1.41624645 149.353638 -81.144944
    Oben rechts KachelX + 1 59958 KachelY 59453 2.60680860 -1.41624645 149.359131 -81.144944
    Unten links KachelX 59957 KachelY + 1 59454 2.60671273 -1.41626121 149.353638 -81.145790
    Unten rechts KachelX + 1 59958 KachelY + 1 59454 2.60680860 -1.41626121 149.359131 -81.145790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41624645--1.41626121) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41624645--1.41626121) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60671273-2.60680860) × cos(-1.41624645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153935356749705 × 6371000     		do = 94.0218332733046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60671273-2.60680860) × cos(-1.41626121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153920772658547 × 6371000     		du = 94.0129254887889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41624645)-sin(-1.41626121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153935356749705-0.153920772658547)×R²
    abs(2.60680860-2.60671273)×1.45840911576767e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45840911576767e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45840911576767e-05×40589641000000     		ar = 8841.01452705048m²