Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59957 / 30317
↖ ↑ ↗
← N 69.055804°
W 15.323181°		 ← 109.15 m → N 69.055804°
W 15.320435°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 69.054822°
W 15.323181°		 ← 109.16 m →
11 913 m²		 N 69.054822°
W 15.320435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457439422607422 y=0.231304168701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457439422607422 × 217)
    floor (0.457439422607422 × 131072)
    floor (59957.5)     		tx = 59957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231304168701172 × 217)
    floor (0.231304168701172 × 131072)
    floor (30317.5)     		ty = 30317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59957 / 30317 ti = "17/59957/30317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59957/30317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59957 ÷ 217
    59957 ÷ 131072     		x = 0.457435607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30317 ÷ 217
    30317 ÷ 131072     		y = 0.231300354003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457435607910156 × 2 - 1) × π
    -0.0851287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26743996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231300354003906 × 2 - 1) × π
    0.537399291992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.68828966771876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26743996} λ = -0.26743996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68828966771876))-π/2
    2×atan(5.41021951444794)-π/2
    2×1.38802373396924-π/2
    2.77604746793849-1.57079632675     		φ = 1.20525114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26743996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.323181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20525114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.055804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59957 KachelY 30317 -0.26743996 1.20525114 -15.323181 69.055804
    Oben rechts KachelX + 1 59958 KachelY 30317 -0.26739203 1.20525114 -15.320435 69.055804
    Unten links KachelX 59957 KachelY + 1 30318 -0.26743996 1.20523401 -15.323181 69.054822
    Unten rechts KachelX + 1 59958 KachelY + 1 30318 -0.26739203 1.20523401 -15.320435 69.054822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20525114-1.20523401) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20525114-1.20523401) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26743996--0.26739203) × cos(1.20525114) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357458513343293 × 6371000     		do = 109.154257275231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26743996--0.26739203) × cos(1.20523401) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357474511494931 × 6371000     		du = 109.159142503291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20525114)-sin(1.20523401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357458513343293-0.357474511494931)×R²
    abs(-0.26739203--0.26743996)×1.59981516371088e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59981516371088e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59981516371088e-05×40589641000000     		ar = 11912.8415486908m²