Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59956 / 59480
↖ ↑ ↗
← S 81.167746°
E149.348144°		 ← 93.79 m → S 81.167746°
E149.353638°		 →
↑
93.78 m
↓
↑
93.78 m
↓
S 81.168590°
E149.348144°		 ← 93.78 m →
8 795 m²		 S 81.168590°
E149.353638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914863586425781 y=0.907600402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914863586425781 × 216)
    floor (0.914863586425781 × 65536)
    floor (59956.5)     		tx = 59956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907600402832031 × 216)
    floor (0.907600402832031 × 65536)
    floor (59480.5)     		ty = 59480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59956 / 59480 ti = "16/59956/59480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59956/59480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59956 ÷ 216
    59956 ÷ 65536     		x = 0.91485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59480 ÷ 216
    59480 ÷ 65536     		y = 0.9075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91485595703125 × 2 - 1) × π
    0.8297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60661685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60661685} λ = 2.60661685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56098092530188))-π/2
    2×atan(0.0772289474471549)-π/2
    2×0.0770759554340172-π/2
    0.154151910868034-1.57079632675     		φ = -1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60661685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59956 KachelY 59480 2.60661685 -1.41664442 149.348144 -81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 59957 KachelY 59480 2.60671273 -1.41664442 149.353638 -81.167746
    Unten links KachelX 59956 KachelY + 1 59481 2.60661685 -1.41665914 149.348144 -81.168590
    Unten rechts KachelX + 1 59957 KachelY + 1 59481 2.60671273 -1.41665914 149.353638 -81.168590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41664442--1.41665914) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dl = 93.7811200001504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41664442--1.41665914) × R
    1.47200000000236e-05 × 6371000     		dr = 93.7811200001504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60661685-2.60671273) × cos(-1.41664442) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 93.7914300261805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60661685-2.60671273) × cos(-1.41665914) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153527572537498 × 6371000     		du = 93.7825449052766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41664442)-sin(-1.41665914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.153527572537498)×R²
    abs(2.60671273-2.60661685)×1.45454684072344e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45454684072344e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45454684072344e-05×40589641000000     		ar = 8795.44872625301m²