Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59956 / 55797
↖ ↑ ↗
← N 25.827089°
W 15.325928°		 ← 274.92 m → N 25.827089°
W 15.323181°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.824617°
W 15.325928°		 ← 274.92 m →
75 578 m²		 N 25.824617°
W 15.323181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457431793212891 y=0.425701141357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457431793212891 × 217)
    floor (0.457431793212891 × 131072)
    floor (59956.5)     		tx = 59956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425701141357422 × 217)
    floor (0.425701141357422 × 131072)
    floor (55797.5)     		ty = 55797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59956 / 55797 ti = "17/59956/55797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59956/55797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59956 ÷ 217
    59956 ÷ 131072     		x = 0.457427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55797 ÷ 217
    55797 ÷ 131072     		y = 0.425697326660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425697326660156 × 2 - 1) × π
    0.148605346679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.466857465399727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26748790} λ = -0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466857465399727))-π/2
    2×atan(1.59497404822598)-π/2
    2×1.01078203195423-π/2
    2.02156406390846-1.57079632675     		φ = 0.45076774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45076774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.827089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59956 KachelY 55797 -0.26748790 0.45076774 -15.325928 25.827089
    Oben rechts KachelX + 1 59957 KachelY 55797 -0.26743996 0.45076774 -15.323181 25.827089
    Unten links KachelX 59956 KachelY + 1 55798 -0.26748790 0.45072459 -15.325928 25.824617
    Unten rechts KachelX + 1 59957 KachelY + 1 55798 -0.26743996 0.45072459 -15.323181 25.824617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45076774-0.45072459) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45076774-0.45072459) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26748790--0.26743996) × cos(0.45076774) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900112896573452 × 6371000     		do = 274.917647519628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26748790--0.26743996) × cos(0.45072459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900131694322733 × 6371000     		du = 274.923388836113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45076774)-sin(0.45072459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900112896573452-0.900131694322733)×R²
    abs(-0.26743996--0.26748790)×1.87977492810409e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87977492810409e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87977492810409e-05×40589641000000     		ar = 75578.0285213634m²