Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59956 / 41432
↖ ↑ ↗
← N 55.040614°
W 15.325928°		 ← 175.01 m → N 55.040614°
W 15.323181°		 →
↑
175.01 m
↓
↑
175.01 m
↓
N 55.039040°
W 15.325928°		 ← 175.01 m →
30 629 m²		 N 55.039040°
W 15.323181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457431793212891 y=0.316104888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457431793212891 × 217)
    floor (0.457431793212891 × 131072)
    floor (59956.5)     		tx = 59956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316104888916016 × 217)
    floor (0.316104888916016 × 131072)
    floor (41432.5)     		ty = 41432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59956 / 41432 ti = "17/59956/41432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59956/41432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59956 ÷ 217
    59956 ÷ 131072     		x = 0.457427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41432 ÷ 217
    41432 ÷ 131072     		y = 0.31610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.08514404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26748790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31610107421875 × 2 - 1) × π
    0.3677978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15547102844183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26748790} λ = -0.26748790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15547102844183))-π/2
    2×atan(3.17551882499438)-π/2
    2×1.2657181345575-π/2
    2.53143626911499-1.57079632675     		φ = 0.96063994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26748790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.325928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96063994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.040614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59956 KachelY 41432 -0.26748790 0.96063994 -15.325928 55.040614
    Oben rechts KachelX + 1 59957 KachelY 41432 -0.26743996 0.96063994 -15.323181 55.040614
    Unten links KachelX 59956 KachelY + 1 41433 -0.26748790 0.96061247 -15.325928 55.039040
    Unten rechts KachelX + 1 59957 KachelY + 1 41433 -0.26743996 0.96061247 -15.323181 55.039040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96063994-0.96061247) × R
    2.74699999999184e-05 × 6371000     		dl = 175.01136999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96063994-0.96061247) × R
    2.74699999999184e-05 × 6371000     		dr = 175.01136999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26748790--0.26743996) × cos(0.96063994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572995635221152 × 6371000     		do = 175.007615904278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26748790--0.26743996) × cos(0.96061247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.573018148274725 × 6371000     		du = 175.014491970326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96063994)-sin(0.96061247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572995635221152-0.573018148274725)×R²
    abs(-0.26743996--0.26748790)×2.25130535731477e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25130535731477e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25130535731477e-05×40589641000000     		ar = 30628.9243166184m²