Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59955 / 59507
↖ ↑ ↗
← S 81.190490°
E149.342651°		 ← 93.54 m → S 81.190490°
E149.348144°		 →
↑
93.53 m
↓
↑
93.53 m
↓
S 81.191331°
E149.342651°		 ← 93.53 m →
8 748 m²		 S 81.191331°
E149.348144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914848327636719 y=0.908012390136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914848327636719 × 216)
    floor (0.914848327636719 × 65536)
    floor (59955.5)     		tx = 59955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908012390136719 × 216)
    floor (0.908012390136719 × 65536)
    floor (59507.5)     		ty = 59507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59955 / 59507 ti = "16/59955/59507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59955/59507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59955 ÷ 216
    59955 ÷ 65536     		x = 0.914840698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59507 ÷ 216
    59507 ÷ 65536     		y = 0.908004760742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914840698242188 × 2 - 1) × π
    0.829681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60652098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908004760742188 × 2 - 1) × π
    -0.816009521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56356951788136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60652098} λ = 2.60652098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56356951788136))-π/2
    2×atan(0.0770292916920629)-π/2
    2×0.0768774803879858-π/2
    0.153754960775972-1.57079632675     		φ = -1.41704137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60652098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.342651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41704137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.190490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59955 KachelY 59507 2.60652098 -1.41704137 149.342651 -81.190490
    Oben rechts KachelX + 1 59956 KachelY 59507 2.60661685 -1.41704137 149.348144 -81.190490
    Unten links KachelX 59955 KachelY + 1 59508 2.60652098 -1.41705605 149.342651 -81.191331
    Unten rechts KachelX + 1 59956 KachelY + 1 59508 2.60661685 -1.41705605 149.348144 -81.191331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41704137--1.41705605) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dl = 93.5262800002845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41704137--1.41705605) × R
    1.46800000000447e-05 × 6371000     		dr = 93.5262800002845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60652098-2.60661685) × cos(-1.41704137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153149862911201 × 6371000     		do = 93.5420632433361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60652098-2.60661685) × cos(-1.41705605) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153135356075029 × 6371000     		du = 93.5332026452207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41704137)-sin(-1.41705605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153149862911201-0.153135356075029)×R²
    abs(2.60661685-2.60652098)×1.45068361722955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45068361722955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45068361722955e-05×40589641000000     		ar = 8748.22684969787m²