Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59955 / 30316
↖ ↑ ↗
← N 69.056786°
W 15.328675°		 ← 109.17 m → N 69.056786°
W 15.325928°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
N 69.055804°
W 15.328675°		 ← 109.18 m →
11 922 m²		 N 69.055804°
W 15.325928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457424163818359 y=0.231296539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457424163818359 × 217)
    floor (0.457424163818359 × 131072)
    floor (59955.5)     		tx = 59955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231296539306641 × 217)
    floor (0.231296539306641 × 131072)
    floor (30316.5)     		ty = 30316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59955 / 30316 ti = "17/59955/30316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59955/30316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59955 ÷ 217
    59955 ÷ 131072     		x = 0.457420349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30316 ÷ 217
    30316 ÷ 131072     		y = 0.231292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457420349121094 × 2 - 1) × π
    -0.0851593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26753584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231292724609375 × 2 - 1) × π
    0.53741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68833760461838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26753584} λ = -0.26753584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68833760461838))-π/2
    2×atan(5.41047886981403)-π/2
    2×1.38803230150387-π/2
    2.77606460300774-1.57079632675     		φ = 1.20526828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26753584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.328675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20526828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.056786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59955 KachelY 30316 -0.26753584 1.20526828 -15.328675 69.056786
    Oben rechts KachelX + 1 59956 KachelY 30316 -0.26748790 1.20526828 -15.325928 69.056786
    Unten links KachelX 59955 KachelY + 1 30317 -0.26753584 1.20525114 -15.328675 69.055804
    Unten rechts KachelX + 1 59956 KachelY + 1 30317 -0.26748790 1.20525114 -15.325928 69.055804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20526828-1.20525114) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20526828-1.20525114) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26753584--0.26748790) × cos(1.20526828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357442505747413 × 6371000     		do = 109.172141825413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26753584--0.26748790) × cos(1.20525114) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357458513343293 × 6371000     		du = 109.17703095723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20526828)-sin(1.20525114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357442505747413-0.357458513343293)×R²
    abs(-0.26748790--0.26753584)×1.60075958799966e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60075958799966e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60075958799966e-05×40589641000000     		ar = 11921.7491093096m²