Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59954 / 59697
↖ ↑ ↗
← S 81.348902°
E149.337158°		 ← 91.87 m → S 81.348902°
E149.342651°		 →
↑
91.87 m
↓
↑
91.87 m
↓
S 81.349728°
E149.337158°		 ← 91.86 m →
8 440 m²		 S 81.349728°
E149.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914833068847656 y=0.910911560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914833068847656 × 216)
    floor (0.914833068847656 × 65536)
    floor (59954.5)     		tx = 59954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910911560058594 × 216)
    floor (0.910911560058594 × 65536)
    floor (59697.5)     		ty = 59697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59954 / 59697 ti = "16/59954/59697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59954/59697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59954 ÷ 216
    59954 ÷ 65536     		x = 0.914825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59697 ÷ 216
    59697 ÷ 65536     		y = 0.910903930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    0.82965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60642511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910903930664062 × 2 - 1) × π
    -0.821807861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58178553973698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60642511} λ = 2.60642511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58178553973698))-π/2
    2×atan(0.0756388272452999)-π/2
    2×0.0754950713025783-π/2
    0.150990142605157-1.57079632675     		φ = -1.41980618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60642511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41980618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.348902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59954 KachelY 59697 2.60642511 -1.41980618 149.337158 -81.348902
    Oben rechts KachelX + 1 59955 KachelY 59697 2.60652098 -1.41980618 149.342651 -81.348902
    Unten links KachelX 59954 KachelY + 1 59698 2.60642511 -1.41982060 149.337158 -81.349728
    Unten rechts KachelX + 1 59955 KachelY + 1 59698 2.60652098 -1.41982060 149.342651 -81.349728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41980618--1.41982060) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dl = 91.8698200004491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41980618--1.41982060) × R
    1.44200000000705e-05 × 6371000     		dr = 91.8698200004491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60642511-2.60652098) × cos(-1.41980618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150417087573463 × 6371000     		do = 91.8729174888879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60642511-2.60652098) × cos(-1.41982060) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.150402831619535 × 6371000     		du = 91.8642101265791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41980618)-sin(-1.41982060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150417087573463-0.150402831619535)×R²
    abs(2.60652098-2.60642511)×1.42559539278997e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42559539278997e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42559539278997e-05×40589641000000     		ar = 8439.9484212462m²