Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59954 / 58806
↖ ↑ ↗
← S 80.580741°
E149.337158°		 ← 99.96 m → S 80.580741°
E149.342651°		 →
↑
99.96 m
↓
↑
99.96 m
↓
S 80.581640°
E149.337158°		 ← 99.95 m →
9 992 m²		 S 80.581640°
E149.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914833068847656 y=0.897315979003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914833068847656 × 216)
    floor (0.914833068847656 × 65536)
    floor (59954.5)     		tx = 59954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897315979003906 × 216)
    floor (0.897315979003906 × 65536)
    floor (58806.5)     		ty = 58806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59954 / 58806 ti = "16/59954/58806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59954/58806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59954 ÷ 216
    59954 ÷ 65536     		x = 0.914825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58806 ÷ 216
    58806 ÷ 65536     		y = 0.897308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    0.82965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60642511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897308349609375 × 2 - 1) × π
    -0.79461669921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49636198461404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60642511} λ = 2.60642511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49636198461404))-π/2
    2×atan(0.0823841689750552)-π/2
    2×0.0821985397205647-π/2
    0.164397079441129-1.57079632675     		φ = -1.40639925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60642511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40639925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.580741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59954 KachelY 58806 2.60642511 -1.40639925 149.337158 -80.580741
    Oben rechts KachelX + 1 59955 KachelY 58806 2.60652098 -1.40639925 149.342651 -80.580741
    Unten links KachelX 59954 KachelY + 1 58807 2.60642511 -1.40641494 149.337158 -80.581640
    Unten rechts KachelX + 1 59955 KachelY + 1 58807 2.60652098 -1.40641494 149.342651 -80.581640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40639925--1.40641494) × R
    1.56899999999016e-05 × 6371000     		dl = 99.9609899993732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40639925--1.40641494) × R
    1.56899999999016e-05 × 6371000     		dr = 99.9609899993732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60642511-2.60652098) × cos(-1.40639925) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163657566655929 × 6371000     		do = 99.960040181399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60642511-2.60652098) × cos(-1.40641494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.163642088180798 × 6371000     		du = 99.950586118091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40639925)-sin(-1.40641494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163657566655929-0.163642088180798)×R²
    abs(2.60652098-2.60642511)×1.5478475130698e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5478475130698e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5478475130698e-05×40589641000000     		ar = 9991.63205826259m²