Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59954 / 58762
↖ ↑ ↗
← S 80.541103°
E149.337158°		 ← 100.38 m → S 80.541103°
E149.342651°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
S 80.542005°
E149.337158°		 ← 100.37 m →
10 072 m²		 S 80.542005°
E149.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914833068847656 y=0.896644592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914833068847656 × 216)
    floor (0.914833068847656 × 65536)
    floor (59954.5)     		tx = 59954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896644592285156 × 216)
    floor (0.896644592285156 × 65536)
    floor (58762.5)     		ty = 58762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59954 / 58762 ti = "16/59954/58762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59954/58762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59954 ÷ 216
    59954 ÷ 65536     		x = 0.914825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58762 ÷ 216
    58762 ÷ 65536     		y = 0.896636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    0.82965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60642511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.79327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.49214353744748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60642511} λ = 2.60642511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49214353744748))-π/2
    2×atan(0.0827324362964254)-π/2
    2×0.0825444493622308-π/2
    0.165088898724462-1.57079632675     		φ = -1.40570743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60642511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40570743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.541103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59954 KachelY 58762 2.60642511 -1.40570743 149.337158 -80.541103
    Oben rechts KachelX + 1 59955 KachelY 58762 2.60652098 -1.40570743 149.342651 -80.541103
    Unten links KachelX 59954 KachelY + 1 58763 2.60642511 -1.40572318 149.337158 -80.542005
    Unten rechts KachelX + 1 59955 KachelY + 1 58763 2.60652098 -1.40572318 149.342651 -80.542005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40570743--1.40572318) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40570743--1.40572318) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60642511-2.60652098) × cos(-1.40570743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164340019771569 × 6371000     		do = 100.376874198031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60642511-2.60652098) × cos(-1.40572318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164324483892125 × 6371000     		du = 100.36738507287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40570743)-sin(-1.40572318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164340019771569-0.164324483892125)×R²
    abs(2.60652098-2.60642511)×1.55358794442506e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55358794442506e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55358794442506e-05×40589641000000     		ar = 10071.6656972074m²