Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59954 / 55806
↖ ↑ ↗
← N 25.804837°
W 15.331421°		 ← 274.91 m → N 25.804837°
W 15.328675°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 25.802364°
W 15.331421°		 ← 274.92 m →
75 576 m²		 N 25.802364°
W 15.328675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457416534423828 y=0.425769805908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457416534423828 × 217)
    floor (0.457416534423828 × 131072)
    floor (59954.5)     		tx = 59954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425769805908203 × 217)
    floor (0.425769805908203 × 131072)
    floor (55806.5)     		ty = 55806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59954 / 55806 ti = "17/59954/55806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59954/55806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59954 ÷ 217
    59954 ÷ 131072     		x = 0.457412719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55806 ÷ 217
    55806 ÷ 131072     		y = 0.425765991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457412719726562 × 2 - 1) × π
    -0.085174560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26758377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425765991210938 × 2 - 1) × π
    0.148468017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.466426033303146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26758377} λ = -0.26758377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466426033303146))-π/2
    2×atan(1.5942860736462)-π/2
    2×1.01058784491301-π/2
    2.02117568982602-1.57079632675     		φ = 0.45037936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26758377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.331421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45037936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.804837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59954 KachelY 55806 -0.26758377 0.45037936 -15.331421 25.804837
    Oben rechts KachelX + 1 59955 KachelY 55806 -0.26753584 0.45037936 -15.328675 25.804837
    Unten links KachelX 59954 KachelY + 1 55807 -0.26758377 0.45033621 -15.331421 25.802364
    Unten rechts KachelX + 1 59955 KachelY + 1 55807 -0.26753584 0.45033621 -15.328675 25.802364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45037936-0.45033621) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45037936-0.45033621) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26758377--0.26753584) × cos(0.45037936) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900282029038139 × 6371000     		do = 274.911947959455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26758377--0.26753584) × cos(0.45033621) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.900300811701216 × 6371000     		du = 274.917683471581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45037936)-sin(0.45033621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900282029038139-0.900300811701216)×R²
    abs(-0.26753584--0.26758377)×1.87826630769772e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.87826630769772e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.87826630769772e-05×40589641000000     		ar = 75576.4608651147m²