Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59953 / 58760
↖ ↑ ↗
← S 80.539297°
E149.331665°		 ← 100.41 m → S 80.539297°
E149.337158°		 →
↑
100.41 m
↓
↑
100.41 m
↓
S 80.540200°
E149.331665°		 ← 100.40 m →
10 081 m²		 S 80.540200°
E149.337158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914817810058594 y=0.896614074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914817810058594 × 216)
    floor (0.914817810058594 × 65536)
    floor (59953.5)     		tx = 59953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896614074707031 × 216)
    floor (0.896614074707031 × 65536)
    floor (58760.5)     		ty = 58760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59953 / 58760 ti = "16/59953/58760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59953/58760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59953 ÷ 216
    59953 ÷ 65536     		x = 0.914810180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58760 ÷ 216
    58760 ÷ 65536     		y = 0.8966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914810180664062 × 2 - 1) × π
    0.829620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60632923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.491951789849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60632923} λ = 2.60632923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.491951789849))-π/2
    2×atan(0.0827483015634165)-π/2
    2×0.0825602067546073-π/2
    0.165120413509215-1.57079632675     		φ = -1.40567591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60632923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.331665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40567591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.539297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59953 KachelY 58760 2.60632923 -1.40567591 149.331665 -80.539297
    Oben rechts KachelX + 1 59954 KachelY 58760 2.60642511 -1.40567591 149.337158 -80.539297
    Unten links KachelX 59953 KachelY + 1 58761 2.60632923 -1.40569167 149.331665 -80.540200
    Unten rechts KachelX + 1 59954 KachelY + 1 58761 2.60642511 -1.40569167 149.337158 -80.540200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40567591--1.40569167) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dl = 100.406959999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40567591--1.40569167) × R
    1.57599999999203e-05 × 6371000     		dr = 100.406959999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60632923-2.60642511) × cos(-1.40567591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164371111136126 × 6371000     		do = 100.406336506681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60632923-2.60642511) × cos(-1.40569167) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164355565474259 × 6371000     		du = 100.396840416122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40567591)-sin(-1.40569167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164371111136126-0.164355565474259)×R²
    abs(2.60642511-2.60632923)×1.55456618669281e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.55456618669281e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55456618669281e-05×40589641000000     		ar = 10081.0182768228m²