Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59952 / 59572
↖ ↑ ↗
← S 81.245005°
E149.326172°		 ← 92.97 m → S 81.245005°
E149.331665°		 →
↑
92.95 m
↓
↑
92.95 m
↓
S 81.245840°
E149.326172°		 ← 92.96 m →
8 641 m²		 S 81.245840°
E149.331665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914802551269531 y=0.909004211425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914802551269531 × 216)
    floor (0.914802551269531 × 65536)
    floor (59952.5)     		tx = 59952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909004211425781 × 216)
    floor (0.909004211425781 × 65536)
    floor (59572.5)     		ty = 59572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59952 / 59572 ti = "16/59952/59572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59952/59572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59952 ÷ 216
    59952 ÷ 65536     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59572 ÷ 216
    59572 ÷ 65536     		y = 0.90899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90899658203125 × 2 - 1) × π
    -0.8179931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56980131483197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56980131483197))-π/2
    2×atan(0.0765507534123651)-π/2
    2×0.076401747375606-π/2
    0.152803494751212-1.57079632675     		φ = -1.41799283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41799283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.245005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59952 KachelY 59572 2.60623336 -1.41799283 149.326172 -81.245005
    Oben rechts KachelX + 1 59953 KachelY 59572 2.60632923 -1.41799283 149.331665 -81.245005
    Unten links KachelX 59952 KachelY + 1 59573 2.60623336 -1.41800742 149.326172 -81.245840
    Unten rechts KachelX + 1 59953 KachelY + 1 59573 2.60632923 -1.41800742 149.331665 -81.245840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41799283--1.41800742) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dl = 92.9528899995253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41799283--1.41800742) × R
    1.45899999999255e-05 × 6371000     		dr = 92.9528899995253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60632923) × cos(-1.41799283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152209558129166 × 6371000     		do = 92.9677365823965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60632923) × cos(-1.41800742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152195138112093 × 6371000     		du = 92.9589290123255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41799283)-sin(-1.41800742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152209558129166-0.152195138112093)×R²
    abs(2.60632923-2.60623336)×1.44200170722475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.44200170722475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.44200170722475e-05×40589641000000     		ar = 8641.21044752962m²