Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59952 / 59455
↖ ↑ ↗
← S 81.146635°
E149.326172°		 ← 94 m → S 81.146635°
E149.331665°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
S 81.147481°
E149.326172°		 ← 94 m →
8 839 m²		 S 81.147481°
E149.331665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914802551269531 y=0.907218933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914802551269531 × 216)
    floor (0.914802551269531 × 65536)
    floor (59952.5)     		tx = 59952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907218933105469 × 216)
    floor (0.907218933105469 × 65536)
    floor (59455.5)     		ty = 59455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59952 / 59455 ti = "16/59952/59455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59952/59455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59952 ÷ 216
    59952 ÷ 65536     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59455 ÷ 216
    59455 ÷ 65536     		y = 0.907211303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907211303710938 × 2 - 1) × π
    -0.814422607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55858408032088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55858408032088))-π/2
    2×atan(0.0774142752745446)-π/2
    2×0.0772601818390883-π/2
    0.154520363678177-1.57079632675     		φ = -1.41627596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41627596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.146635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59952 KachelY 59455 2.60623336 -1.41627596 149.326172 -81.146635
    Oben rechts KachelX + 1 59953 KachelY 59455 2.60632923 -1.41627596 149.331665 -81.146635
    Unten links KachelX 59952 KachelY + 1 59456 2.60623336 -1.41629072 149.326172 -81.147481
    Unten rechts KachelX + 1 59953 KachelY + 1 59456 2.60632923 -1.41629072 149.331665 -81.147481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41627596--1.41629072) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41627596--1.41629072) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60632923) × cos(-1.41627596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153906198414711 × 6371000     		do = 94.004023718897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60632923) × cos(-1.41629072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153891614256514 × 6371000     		du = 93.9951158934343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41627596)-sin(-1.41629072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153906198414711-0.153891614256514)×R²
    abs(2.60632923-2.60623336)×1.45841581973838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45841581973838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45841581973838e-05×40589641000000     		ar = 8839.33978660989m²