Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59952 / 58768
↖ ↑ ↗
← S 80.546518°
E149.326172°		 ← 100.32 m → S 80.546518°
E149.331665°		 →
↑
100.28 m
↓
↑
100.28 m
↓
S 80.547420°
E149.326172°		 ← 100.31 m →
10 060 m²		 S 80.547420°
E149.331665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914802551269531 y=0.896736145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914802551269531 × 216)
    floor (0.914802551269531 × 65536)
    floor (59952.5)     		tx = 59952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896736145019531 × 216)
    floor (0.896736145019531 × 65536)
    floor (58768.5)     		ty = 58768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59952 / 58768 ti = "16/59952/58768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59952/58768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59952 ÷ 216
    59952 ÷ 65536     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58768 ÷ 216
    58768 ÷ 65536     		y = 0.896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.79345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.49271878024292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49271878024292))-π/2
    2×atan(0.0826848587441307)-π/2
    2×0.0824971950633896-π/2
    0.164994390126779-1.57079632675     		φ = -1.40580194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40580194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.546518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59952 KachelY 58768 2.60623336 -1.40580194 149.326172 -80.546518
    Oben rechts KachelX + 1 59953 KachelY 58768 2.60632923 -1.40580194 149.331665 -80.546518
    Unten links KachelX 59952 KachelY + 1 58769 2.60623336 -1.40581768 149.326172 -80.547420
    Unten rechts KachelX + 1 59953 KachelY + 1 58769 2.60632923 -1.40581768 149.331665 -80.547420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40580194--1.40581768) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dl = 100.279540000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40580194--1.40581768) × R
    1.57400000000418e-05 × 6371000     		dr = 100.279540000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60632923) × cos(-1.40580194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164246794019347 × 6371000     		do = 100.319933048724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60632923) × cos(-1.40581768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164231267759577 × 6371000     		du = 100.310449799143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40580194)-sin(-1.40581768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164246794019347-0.164231267759577)×R²
    abs(2.60632923-2.60623336)×1.55262597701655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55262597701655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55262597701655e-05×40589641000000     		ar = 10059.5612509573m²