Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59951 / 58758
S 80.537491°
E149.320678°
← 100.43 m → S 80.537491°
E149.326172°

100.41 m

100.41 m
S 80.538394°
E149.320678°
← 100.42 m →
10 083 m²
S 80.538394°
E149.326172°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914787292480469 y=0.896583557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914787292480469 × 216)
    floor (0.914787292480469 × 65536)
    floor (59951.5)
    tx = 59951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896583557128906 × 216)
    floor (0.896583557128906 × 65536)
    floor (58758.5)
    ty = 58758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59951 / 58758 ti = "16/59951/58758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59951/58758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59951 ÷ 216
    59951 ÷ 65536
    x = 0.914779663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58758 ÷ 216
    58758 ÷ 65536
    y = 0.896575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.914779663085938 × 2 - 1) × π
    0.829559326171875 × 3.1415926535
    Λ = 2.60613748
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.896575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.79315185546875 × 3.1415926535
    Φ = -2.49176004225052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60613748} λ = 2.60613748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49176004225052))-π/2
    2×atan(0.0827641698728261)-π/2
    2×0.0825759671276119-π/2
    0.165151934255224-1.57079632675
    φ = -1.40564439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60613748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.320678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40564439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.537491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59951 KachelY 58758 2.60613748 -1.40564439 149.320678 -80.537491
    Oben rechts KachelX + 1 59952 KachelY 58758 2.60623336 -1.40564439 149.326172 -80.537491
    Unten links KachelX 59951 KachelY + 1 58759 2.60613748 -1.40566015 149.320678 -80.538394
    Unten rechts KachelX + 1 59952 KachelY + 1 58759 2.60623336 -1.40566015 149.326172 -80.538394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.40564439--1.40566015) × R
    1.57600000001423e-05 × 6371000
    dl = 100.406960000907m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.40564439--1.40566015) × R
    1.57600000001423e-05 × 6371000
    dr = 100.406960000907m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.60613748-2.60623336) × cos(-1.40564439) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164402202337378 × 6371000
    do = 100.425328612981m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.60613748-2.60623336) × cos(-1.40566015) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.164386656757167 × 6371000
    du = 100.415832572301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.40564439)-sin(-1.40566015))×
    abs(λ12)×abs(0.164402202337378-0.164386656757167)×
    abs(2.60623336-2.60613748)×1.55455802110793e-05×
    9.58799999999371e-05×1.55455802110793e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.55455802110793e-05×40589641000000
    ar = 10082.9252192451m²