Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59949 / 55803
↖ ↑ ↗
← N 25.812255°
W 15.345154°		 ← 274.95 m → N 25.812255°
W 15.342407°		 →
↑
274.97 m
↓
↑
274.97 m
↓
N 25.809782°
W 15.345154°		 ← 274.96 m →
75 605 m²		 N 25.809782°
W 15.342407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457378387451172 y=0.425746917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457378387451172 × 217)
    floor (0.457378387451172 × 131072)
    floor (59949.5)     		tx = 59949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425746917724609 × 217)
    floor (0.425746917724609 × 131072)
    floor (55803.5)     		ty = 55803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59949 / 55803 ti = "17/59949/55803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59949/55803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59949 ÷ 217
    59949 ÷ 131072     		x = 0.457374572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55803 ÷ 217
    55803 ÷ 131072     		y = 0.425743103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457374572753906 × 2 - 1) × π
    -0.0852508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26782346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425743103027344 × 2 - 1) × π
    0.148513793945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.466569844002007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26782346} λ = -0.26782346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466569844002007))-π/2
    2×atan(1.59451536552755)-π/2
    2×1.01065257798039-π/2
    2.02130515596078-1.57079632675     		φ = 0.45050883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26782346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.345154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45050883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.812255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59949 KachelY 55803 -0.26782346 0.45050883 -15.345154 25.812255
    Oben rechts KachelX + 1 59950 KachelY 55803 -0.26777552 0.45050883 -15.342407 25.812255
    Unten links KachelX 59949 KachelY + 1 55804 -0.26782346 0.45046567 -15.345154 25.809782
    Unten rechts KachelX + 1 59950 KachelY + 1 55804 -0.26777552 0.45046567 -15.342407 25.809782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45050883-0.45046567) × R
    4.31600000000421e-05 × 6371000     		dl = 274.972360000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45050883-0.45046567) × R
    4.31600000000421e-05 × 6371000     		dr = 274.972360000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26782346--0.26777552) × cos(0.45050883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900225662283043 × 6371000     		do = 274.952089069927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26782346--0.26777552) × cos(0.45046567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.900244454329406 × 6371000     		du = 274.957828644593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45050883)-sin(0.45046567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900225662283043-0.900244454329406)×R²
    abs(-0.26777552--0.26782346)×1.87920463630142e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87920463630142e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87920463630142e-05×40589641000000     		ar = 75605.0139424776m²