Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59948 / 58972
↖ ↑ ↗
← S 80.728809°
E149.304199°		 ← 98.41 m → S 80.728809°
E149.309693°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 80.729694°
E149.304199°		 ← 98.40 m →
9 687 m²		 S 80.729694°
E149.309693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914741516113281 y=0.899848937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914741516113281 × 216)
    floor (0.914741516113281 × 65536)
    floor (59948.5)     		tx = 59948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899848937988281 × 216)
    floor (0.899848937988281 × 65536)
    floor (58972.5)     		ty = 58972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59948 / 58972 ti = "16/59948/58972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59948/58972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59948 ÷ 216
    59948 ÷ 65536     		x = 0.91473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58972 ÷ 216
    58972 ÷ 65536     		y = 0.89984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91473388671875 × 2 - 1) × π
    0.8294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60584986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.7996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5122770352879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60584986} λ = 2.60584986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5122770352879))-π/2
    2×atan(0.0810833991159626)-π/2
    2×0.0809064020501219-π/2
    0.161812804100244-1.57079632675     		φ = -1.40898352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60584986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.304199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40898352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.728809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59948 KachelY 58972 2.60584986 -1.40898352 149.304199 -80.728809
    Oben rechts KachelX + 1 59949 KachelY 58972 2.60594574 -1.40898352 149.309693 -80.728809
    Unten links KachelX 59948 KachelY + 1 58973 2.60584986 -1.40899897 149.304199 -80.729694
    Unten rechts KachelX + 1 59949 KachelY + 1 58973 2.60594574 -1.40899897 149.309693 -80.729694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40898352--1.40899897) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40898352--1.40899897) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60584986-2.60594574) × cos(-1.40898352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161107596180315 × 6371000     		do = 98.4128135659235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60584986-2.60594574) × cos(-1.40899897) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161092347986782 × 6371000     		du = 98.4034991843363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40898352)-sin(-1.40899897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161107596180315-0.161092347986782)×R²
    abs(2.60594574-2.60584986)×1.52481935334348e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52481935334348e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52481935334348e-05×40589641000000     		ar = 9686.50672826914m²