Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59948 / 30106
↖ ↑ ↗
← N 69.261985°
W 15.347901°		 ← 108.15 m → N 69.261985°
W 15.345154°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 69.261013°
W 15.347901°		 ← 108.15 m →
11 693 m²		 N 69.261013°
W 15.345154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457370758056641 y=0.229694366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457370758056641 × 217)
    floor (0.457370758056641 × 131072)
    floor (59948.5)     		tx = 59948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229694366455078 × 217)
    floor (0.229694366455078 × 131072)
    floor (30106.5)     		ty = 30106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59948 / 30106 ti = "17/59948/30106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59948/30106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59948 ÷ 217
    59948 ÷ 131072     		x = 0.457366943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30106 ÷ 217
    30106 ÷ 131072     		y = 0.229690551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457366943359375 × 2 - 1) × π
    -0.08526611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26787140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229690551757812 × 2 - 1) × π
    0.540618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69840435353859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26787140} λ = -0.26787140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69840435353859))-π/2
    2×atan(5.46521987181153)-π/2
    2×1.38982300861846-π/2
    2.77964601723692-1.57079632675     		φ = 1.20884969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26787140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.347901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20884969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.261985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59948 KachelY 30106 -0.26787140 1.20884969 -15.347901 69.261985
    Oben rechts KachelX + 1 59949 KachelY 30106 -0.26782346 1.20884969 -15.345154 69.261985
    Unten links KachelX 59948 KachelY + 1 30107 -0.26787140 1.20883272 -15.347901 69.261013
    Unten rechts KachelX + 1 59949 KachelY + 1 30107 -0.26782346 1.20883272 -15.345154 69.261013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20884969-1.20883272) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dl = 108.115870000739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20884969-1.20883272) × R
    1.69700000001161e-05 × 6371000     		dr = 108.115870000739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26787140--0.26782346) × cos(1.20884969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354095415864804 × 6371000     		do = 108.149854421045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26787140--0.26782346) × cos(1.20883272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.354111286315653 × 6371000     		du = 108.154701665239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20884969)-sin(1.20883272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354095415864804-0.354111286315653)×R²
    abs(-0.26782346--0.26787140)×1.58704508489982e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.58704508489982e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.58704508489982e-05×40589641000000     		ar = 11692.9776334404m²