Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59946 / 31140
↖ ↑ ↗
← N 68.232749°
W 15.353394°		 ← 113.26 m → N 68.232749°
W 15.350647°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
N 68.231730°
W 15.353394°		 ← 113.27 m →
12 830 m²		 N 68.231730°
W 15.350647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457355499267578 y=0.237583160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457355499267578 × 217)
    floor (0.457355499267578 × 131072)
    floor (59946.5)     		tx = 59946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237583160400391 × 217)
    floor (0.237583160400391 × 131072)
    floor (31140.5)     		ty = 31140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59946 / 31140 ti = "17/59946/31140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59946/31140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59946 ÷ 217
    59946 ÷ 131072     		x = 0.457351684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31140 ÷ 217
    31140 ÷ 131072     		y = 0.237579345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457351684570312 × 2 - 1) × π
    -0.085296630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26796727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237579345703125 × 2 - 1) × π
    0.52484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64883759933145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26796727} λ = -0.26796727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64883759933145))-π/2
    2×atan(5.20093074675629)-π/2
    2×1.38084122668399-π/2
    2.76168245336797-1.57079632675     		φ = 1.19088613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26796727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.353394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19088613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.232749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59946 KachelY 31140 -0.26796727 1.19088613 -15.353394 68.232749
    Oben rechts KachelX + 1 59947 KachelY 31140 -0.26791933 1.19088613 -15.350647 68.232749
    Unten links KachelX 59946 KachelY + 1 31141 -0.26796727 1.19086835 -15.353394 68.231730
    Unten rechts KachelX + 1 59947 KachelY + 1 31141 -0.26791933 1.19086835 -15.350647 68.231730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19088613-1.19086835) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19088613-1.19086835) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26796727--0.26791933) × cos(1.19088613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370837070856688 × 6371000     		do = 113.263186785762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26796727--0.26791933) × cos(1.19086835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370853583047475 × 6371000     		du = 113.268230033852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19088613)-sin(1.19086835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370837070856688-0.370853583047475)×R²
    abs(-0.26791933--0.26796727)×1.65121907861887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65121907861887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65121907861887e-05×40589641000000     		ar = 12830.329427169m²