Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59945 / 59014
↖ ↑ ↗
← S 80.765905°
E149.287720°		 ← 98.02 m → S 80.765905°
E149.293213°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 80.766786°
E149.287720°		 ← 98.01 m →
9 604 m²		 S 80.766786°
E149.293213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914695739746094 y=0.900489807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914695739746094 × 216)
    floor (0.914695739746094 × 65536)
    floor (59945.5)     		tx = 59945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900489807128906 × 216)
    floor (0.900489807128906 × 65536)
    floor (59014.5)     		ty = 59014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59945 / 59014 ti = "16/59945/59014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59945/59014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59945 ÷ 216
    59945 ÷ 65536     		x = 0.914688110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59014 ÷ 216
    59014 ÷ 65536     		y = 0.900482177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914688110351562 × 2 - 1) × π
    0.829376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60556224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900482177734375 × 2 - 1) × π
    -0.80096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51630373485599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60556224} λ = 2.60556224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51630373485599))-π/2
    2×atan(0.0807575571019871)-π/2
    2×0.0805826798122194-π/2
    0.161165359624439-1.57079632675     		φ = -1.40963097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60556224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.287720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40963097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.765905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59945 KachelY 59014 2.60556224 -1.40963097 149.287720 -80.765905
    Oben rechts KachelX + 1 59946 KachelY 59014 2.60565812 -1.40963097 149.293213 -80.765905
    Unten links KachelX 59945 KachelY + 1 59015 2.60556224 -1.40964635 149.287720 -80.766786
    Unten rechts KachelX + 1 59946 KachelY + 1 59015 2.60565812 -1.40964635 149.293213 -80.766786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40963097--1.40964635) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40963097--1.40964635) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60556224-2.60565812) × cos(-1.40963097) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.160468570195087 × 6371000     		do = 98.0224635975422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60556224-2.60565812) × cos(-1.40964635) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.160453389486289 × 6371000     		du = 98.013190439106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40963097)-sin(-1.40964635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160468570195087-0.160453389486289)×R²
    abs(2.60565812-2.60556224)×1.51807087971911e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.51807087971911e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.51807087971911e-05×40589641000000     		ar = 9604.37283812258m²