Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59944 / 30350
↖ ↑ ↗
← N 69.023380°
W 15.358887°		 ← 109.32 m → N 69.023380°
W 15.356140°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
N 69.022397°
W 15.358887°		 ← 109.32 m →
11 951 m²		 N 69.022397°
W 15.356140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457340240478516 y=0.231555938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457340240478516 × 217)
    floor (0.457340240478516 × 131072)
    floor (59944.5)     		tx = 59944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231555938720703 × 217)
    floor (0.231555938720703 × 131072)
    floor (30350.5)     		ty = 30350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59944 / 30350 ti = "17/59944/30350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59944/30350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59944 ÷ 217
    59944 ÷ 131072     		x = 0.45733642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30350 ÷ 217
    30350 ÷ 131072     		y = 0.231552124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45733642578125 × 2 - 1) × π
    -0.0853271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26806314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231552124023438 × 2 - 1) × π
    0.536895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6867077500313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26806314} λ = -0.26806314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6867077500313))-π/2
    2×atan(5.40166775837545)-π/2
    2×1.38774079005374-π/2
    2.77548158010748-1.57079632675     		φ = 1.20468525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26806314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.358887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20468525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.023380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59944 KachelY 30350 -0.26806314 1.20468525 -15.358887 69.023380
    Oben rechts KachelX + 1 59945 KachelY 30350 -0.26801521 1.20468525 -15.356140 69.023380
    Unten links KachelX 59944 KachelY + 1 30351 -0.26806314 1.20466809 -15.358887 69.022397
    Unten rechts KachelX + 1 59945 KachelY + 1 30351 -0.26801521 1.20466809 -15.356140 69.022397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20468525-1.20466809) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20468525-1.20466809) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26806314--0.26801521) × cos(1.20468525) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.357986957172522 × 6371000     		do = 109.315623955665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26806314--0.26801521) × cos(1.20466809) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.35800297986804 × 6371000     		du = 109.320516678494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20468525)-sin(1.20466809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357986957172522-0.35800297986804)×R²
    abs(-0.26801521--0.26806314)×1.60226955176479e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.60226955176479e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.60226955176479e-05×40589641000000     		ar = 11951.3467103462m²