Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59943 / 59495
↖ ↑ ↗
← S 81.180389°
E149.276733°		 ← 93.66 m → S 81.180389°
E149.282227°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
S 81.181231°
E149.276733°		 ← 93.65 m →
8 771 m²		 S 81.181231°
E149.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914665222167969 y=0.907829284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914665222167969 × 216)
    floor (0.914665222167969 × 65536)
    floor (59943.5)     		tx = 59943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907829284667969 × 216)
    floor (0.907829284667969 × 65536)
    floor (59495.5)     		ty = 59495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59943 / 59495 ti = "16/59943/59495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59943/59495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59943 ÷ 216
    59943 ÷ 65536     		x = 0.914657592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59495 ÷ 216
    59495 ÷ 65536     		y = 0.907821655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914657592773438 × 2 - 1) × π
    0.829315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60537049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907821655273438 × 2 - 1) × π
    -0.815643310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56241903229048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60537049} λ = 2.60537049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56241903229048))-π/2
    2×atan(0.0771179637804297)-π/2
    2×0.0769656288441355-π/2
    0.153931257688271-1.57079632675     		φ = -1.41686507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60537049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41686507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.180389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59943 KachelY 59495 2.60537049 -1.41686507 149.276733 -81.180389
    Oben rechts KachelX + 1 59944 KachelY 59495 2.60546637 -1.41686507 149.282227 -81.180389
    Unten links KachelX 59943 KachelY + 1 59496 2.60537049 -1.41687977 149.276733 -81.181231
    Unten rechts KachelX + 1 59944 KachelY + 1 59496 2.60546637 -1.41687977 149.282227 -81.181231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41686507--1.41687977) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dl = 93.6536999995101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41686507--1.41687977) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dr = 93.6536999995101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60537049-2.60546637) × cos(-1.41686507) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153324080714685 × 6371000     		do = 93.6582416241435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60537049-2.60546637) × cos(-1.41687977) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15330955451152 × 6371000     		du = 93.6493682714413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41686507)-sin(-1.41687977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153324080714685-0.15330955451152)×R²
    abs(2.60546637-2.60537049)×1.4526203165055e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4526203165055e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4526203165055e-05×40589641000000     		ar = 8771.02535263057m²