Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59943 / 59109
↖ ↑ ↗
← S 80.849271°
E149.276733°		 ← 97.15 m → S 80.849271°
E149.282227°		 →
↑
97.09 m
↓
↑
97.09 m
↓
S 80.850144°
E149.276733°		 ← 97.14 m →
9 432 m²		 S 80.850144°
E149.282227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914665222167969 y=0.901939392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914665222167969 × 216)
    floor (0.914665222167969 × 65536)
    floor (59943.5)     		tx = 59943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901939392089844 × 216)
    floor (0.901939392089844 × 65536)
    floor (59109.5)     		ty = 59109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59943 / 59109 ti = "16/59943/59109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59943/59109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59943 ÷ 216
    59943 ÷ 65536     		x = 0.914657592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59109 ÷ 216
    59109 ÷ 65536     		y = 0.901931762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914657592773438 × 2 - 1) × π
    0.829315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60537049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901931762695312 × 2 - 1) × π
    -0.803863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5254117457838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60537049} λ = 2.60537049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5254117457838))-π/2
    2×atan(0.0800253558993679)-π/2
    2×0.0798551803150354-π/2
    0.159710360630071-1.57079632675     		φ = -1.41108597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60537049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41108597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.849271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59943 KachelY 59109 2.60537049 -1.41108597 149.276733 -80.849271
    Oben rechts KachelX + 1 59944 KachelY 59109 2.60546637 -1.41108597 149.282227 -80.849271
    Unten links KachelX 59943 KachelY + 1 59110 2.60537049 -1.41110121 149.276733 -80.850144
    Unten rechts KachelX + 1 59944 KachelY + 1 59110 2.60546637 -1.41110121 149.282227 -80.850144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41108597--1.41110121) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dl = 97.0940399998212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41108597--1.41110121) × R
    1.52399999999719e-05 × 6371000     		dr = 97.0940399998212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60537049-2.60546637) × cos(-1.41108597) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159032256260866 × 6371000     		do = 97.1450891046254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60537049-2.60546637) × cos(-1.41110121) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159017210195974 × 6371000     		du = 97.1358981936182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41108597)-sin(-1.41110121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159032256260866-0.159017210195974)×R²
    abs(2.60546637-2.60537049)×1.50460648916106e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50460648916106e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50460648916106e-05×40589641000000     		ar = 9431.76297625761m²