Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59942 / 59749
↖ ↑ ↗
← S 81.391762°
E149.271240°		 ← 91.42 m → S 81.391762°
E149.276733°		 →
↑
91.42 m
↓
↑
91.42 m
↓
S 81.392584°
E149.271240°		 ← 91.41 m →
8 358 m²		 S 81.392584°
E149.276733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914649963378906 y=0.911705017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914649963378906 × 216)
    floor (0.914649963378906 × 65536)
    floor (59942.5)     		tx = 59942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911705017089844 × 216)
    floor (0.911705017089844 × 65536)
    floor (59749.5)     		ty = 59749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59942 / 59749 ti = "16/59942/59749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59942/59749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59942 ÷ 216
    59942 ÷ 65536     		x = 0.914642333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59749 ÷ 216
    59749 ÷ 65536     		y = 0.911697387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914642333984375 × 2 - 1) × π
    0.82928466796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60527462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911697387695312 × 2 - 1) × π
    -0.823394775390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58677097729747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60527462} λ = 2.60527462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58677097729747))-π/2
    2×atan(0.0752626730207161)-π/2
    2×0.0751210463374966-π/2
    0.150242092674993-1.57079632675     		φ = -1.42055423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60527462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.271240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42055423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.391762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59942 KachelY 59749 2.60527462 -1.42055423 149.271240 -81.391762
    Oben rechts KachelX + 1 59943 KachelY 59749 2.60537049 -1.42055423 149.276733 -81.391762
    Unten links KachelX 59942 KachelY + 1 59750 2.60527462 -1.42056858 149.271240 -81.392584
    Unten rechts KachelX + 1 59943 KachelY + 1 59750 2.60537049 -1.42056858 149.276733 -81.392584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42055423--1.42056858) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dl = 91.4238500003301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42055423--1.42056858) × R
    1.43500000000518e-05 × 6371000     		dr = 91.4238500003301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60527462-2.60537049) × cos(-1.42055423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149677506400767 × 6371000     		do = 91.4211903536832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60527462-2.60537049) × cos(-1.42056858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149663318039965 × 6371000     		du = 91.4125242764292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42055423)-sin(-1.42056858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149677506400767-0.149663318039965)×R²
    abs(2.60537049-2.60527462)×1.41883608017479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41883608017479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41883608017479e-05×40589641000000     		ar = 8357.68105081347m²