Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59942 / 31150
↖ ↑ ↗
← N 68.222561°
W 15.364380°		 ← 113.31 m → N 68.222561°
W 15.361633°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 68.221542°
W 15.364380°		 ← 113.32 m →
12 843 m²		 N 68.221542°
W 15.361633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457324981689453 y=0.237659454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457324981689453 × 217)
    floor (0.457324981689453 × 131072)
    floor (59942.5)     		tx = 59942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237659454345703 × 217)
    floor (0.237659454345703 × 131072)
    floor (31150.5)     		ty = 31150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59942 / 31150 ti = "17/59942/31150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59942/31150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59942 ÷ 217
    59942 ÷ 131072     		x = 0.457321166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31150 ÷ 217
    31150 ÷ 131072     		y = 0.237655639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457321166992188 × 2 - 1) × π
    -0.085357666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26815902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237655639648438 × 2 - 1) × π
    0.524688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64835823033525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26815902} λ = -0.26815902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64835823033525))-π/2
    2×atan(5.19843817928243)-π/2
    2×1.38075232299848-π/2
    2.76150464599697-1.57079632675     		φ = 1.19070832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26815902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.364380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19070832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.222561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59942 KachelY 31150 -0.26815902 1.19070832 -15.364380 68.222561
    Oben rechts KachelX + 1 59943 KachelY 31150 -0.26811108 1.19070832 -15.361633 68.222561
    Unten links KachelX 59942 KachelY + 1 31151 -0.26815902 1.19069053 -15.364380 68.221542
    Unten rechts KachelX + 1 59943 KachelY + 1 31151 -0.26811108 1.19069053 -15.361633 68.221542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19070832-1.19069053) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19070832-1.19069053) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26815902--0.26811108) × cos(1.19070832) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371002196774562 × 6371000     		do = 113.313620491553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26815902--0.26811108) × cos(1.19069053) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.371018717078928 × 6371000     		du = 113.318666217739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19070832)-sin(1.19069053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371002196774562-0.371018717078928)×R²
    abs(-0.26811108--0.26815902)×1.65203043656637e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.65203043656637e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.65203043656637e-05×40589641000000     		ar = 12843.2618866935m²