Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59941 / 86134
↖ ↑ ↗
← S 49.135002°
W 15.367126°		 ← 199.79 m → S 49.135002°
W 15.364380°		 →
↑
199.86 m
↓
↑
199.86 m
↓
S 49.136800°
W 15.367126°		 ← 199.78 m →
39 929 m²		 S 49.136800°
W 15.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457317352294922 y=0.657154083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457317352294922 × 217)
    floor (0.457317352294922 × 131072)
    floor (59941.5)     		tx = 59941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657154083251953 × 217)
    floor (0.657154083251953 × 131072)
    floor (86134.5)     		ty = 86134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59941 / 86134 ti = "17/59941/86134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59941/86134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59941 ÷ 217
    59941 ÷ 131072     		x = 0.457313537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86134 ÷ 217
    86134 ÷ 131072     		y = 0.657150268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457313537597656 × 2 - 1) × π
    -0.0853729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26820695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657150268554688 × 2 - 1) × π
    -0.314300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.987404258373917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26820695} λ = -0.26820695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987404258373917))-π/2
    2×atan(0.372542461008622)-π/2
    2×0.356614376682973-π/2
    0.713228753365946-1.57079632675     		φ = -0.85756757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26820695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.367126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85756757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.135002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59941 KachelY 86134 -0.26820695 -0.85756757 -15.367126 -49.135002
    Oben rechts KachelX + 1 59942 KachelY 86134 -0.26815902 -0.85756757 -15.364380 -49.135002
    Unten links KachelX 59941 KachelY + 1 86135 -0.26820695 -0.85759894 -15.367126 -49.136800
    Unten rechts KachelX + 1 59942 KachelY + 1 86135 -0.26815902 -0.85759894 -15.364380 -49.136800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85756757--0.85759894) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dl = 199.858270000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85756757--0.85759894) × R
    3.13700000000861e-05 × 6371000     		dr = 199.858270000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26820695--0.26815902) × cos(-0.85756757) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654278935188949 × 6371000     		do = 199.791943835427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26820695--0.26815902) × cos(-0.85759894) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.654255211200562 × 6371000     		du = 199.784699430173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85756757)-sin(-0.85759894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654278935188949-0.654255211200562)×R²
    abs(-0.26815902--0.26820695)×2.37239883873475e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37239883873475e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37239883873475e-05×40589641000000     		ar = 39929.348331119m²