Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59941 / 41493
↖ ↑ ↗
← N 54.944499°
W 15.367126°		 ← 175.39 m → N 54.944499°
W 15.364380°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 54.942921°
W 15.367126°		 ← 175.40 m →
30 774 m²		 N 54.942921°
W 15.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457317352294922 y=0.316570281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457317352294922 × 217)
    floor (0.457317352294922 × 131072)
    floor (59941.5)     		tx = 59941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316570281982422 × 217)
    floor (0.316570281982422 × 131072)
    floor (41493.5)     		ty = 41493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59941 / 41493 ti = "17/59941/41493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59941/41493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59941 ÷ 217
    59941 ÷ 131072     		x = 0.457313537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41493 ÷ 217
    41493 ÷ 131072     		y = 0.316566467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457313537597656 × 2 - 1) × π
    -0.0853729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26820695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316566467285156 × 2 - 1) × π
    0.366867065429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.15254687756501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26820695} λ = -0.26820695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15254687756501))-π/2
    2×atan(3.16624669200271)-π/2
    2×1.26487936745192-π/2
    2.52975873490384-1.57079632675     		φ = 0.95896241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26820695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.367126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95896241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.944499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59941 KachelY 41493 -0.26820695 0.95896241 -15.367126 54.944499
    Oben rechts KachelX + 1 59942 KachelY 41493 -0.26815902 0.95896241 -15.364380 54.944499
    Unten links KachelX 59941 KachelY + 1 41494 -0.26820695 0.95893487 -15.367126 54.942921
    Unten rechts KachelX + 1 59942 KachelY + 1 41494 -0.26815902 0.95893487 -15.364380 54.942921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95896241-0.95893487) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dl = 175.457340000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95896241-0.95893487) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dr = 175.457340000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26820695--0.26815902) × cos(0.95896241) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.57436966217552 × 6371000     		do = 175.390686012235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26820695--0.26815902) × cos(0.95893487) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.574392206092886 × 6371000     		du = 175.397570068606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95896241)-sin(0.95893487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57436966217552-0.574392206092886)×R²
    abs(-0.26815902--0.26820695)×2.25439173663355e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.25439173663355e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.25439173663355e-05×40589641000000     		ar = 30774.1871596807m²