Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59941 / 31156
↖ ↑ ↗
← N 68.216447°
W 15.367126°		 ← 113.32 m → N 68.216447°
W 15.364380°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 68.215427°
W 15.367126°		 ← 113.33 m →
12 844 m²		 N 68.215427°
W 15.364380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457317352294922 y=0.237705230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457317352294922 × 217)
    floor (0.457317352294922 × 131072)
    floor (59941.5)     		tx = 59941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237705230712891 × 217)
    floor (0.237705230712891 × 131072)
    floor (31156.5)     		ty = 31156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59941 / 31156 ti = "17/59941/31156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59941/31156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59941 ÷ 217
    59941 ÷ 131072     		x = 0.457313537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31156 ÷ 217
    31156 ÷ 131072     		y = 0.237701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457313537597656 × 2 - 1) × π
    -0.0853729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26820695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237701416015625 × 2 - 1) × π
    0.52459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64807060893753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26820695} λ = -0.26820695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64807060893753))-π/2
    2×atan(5.1969432122299)-π/2
    2×1.38069896178736-π/2
    2.76139792357471-1.57079632675     		φ = 1.19060160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26820695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.367126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19060160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.216447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59941 KachelY 31156 -0.26820695 1.19060160 -15.367126 68.216447
    Oben rechts KachelX + 1 59942 KachelY 31156 -0.26815902 1.19060160 -15.364380 68.216447
    Unten links KachelX 59941 KachelY + 1 31157 -0.26820695 1.19058381 -15.367126 68.215427
    Unten rechts KachelX + 1 59942 KachelY + 1 31157 -0.26815902 1.19058381 -15.364380 68.215427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19060160-1.19058381) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19060160-1.19058381) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26820695--0.26815902) × cos(1.19060160) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371101298267481 × 6371000     		do = 113.320245774532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26820695--0.26815902) × cos(1.19058381) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.371117817867371 × 6371000     		du = 113.325290233089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19060160)-sin(1.19058381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371101298267481-0.371117817867371)×R²
    abs(-0.26815902--0.26820695)×1.65195998901302e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.65195998901302e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.65195998901302e-05×40589641000000     		ar = 12844.0127250286m²