Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59940 / 59386
↖ ↑ ↗
← S 81.088109°
E149.260254°		 ← 94.63 m → S 81.088109°
E149.265747°		 →
↑
94.67 m
↓
↑
94.67 m
↓
S 81.088961°
E149.260254°		 ← 94.62 m →
8 959 m²		 S 81.088961°
E149.265747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914619445800781 y=0.906166076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914619445800781 × 216)
    floor (0.914619445800781 × 65536)
    floor (59940.5)     		tx = 59940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906166076660156 × 216)
    floor (0.906166076660156 × 65536)
    floor (59386.5)     		ty = 59386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59940 / 59386 ti = "16/59940/59386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59940/59386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59940 ÷ 216
    59940 ÷ 65536     		x = 0.91461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59386 ÷ 216
    59386 ÷ 65536     		y = 0.906158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91461181640625 × 2 - 1) × π
    0.8292236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60508287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.81231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55196878817331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60508287} λ = 2.60508287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55196878817331))-π/2
    2×atan(0.0779280909685381)-π/2
    2×0.0777709163564387-π/2
    0.155541832712877-1.57079632675     		φ = -1.41525449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60508287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41525449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.088109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59940 KachelY 59386 2.60508287 -1.41525449 149.260254 -81.088109
    Oben rechts KachelX + 1 59941 KachelY 59386 2.60517875 -1.41525449 149.265747 -81.088109
    Unten links KachelX 59940 KachelY + 1 59387 2.60508287 -1.41526935 149.260254 -81.088961
    Unten rechts KachelX + 1 59941 KachelY + 1 59387 2.60517875 -1.41526935 149.265747 -81.088961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41525449--1.41526935) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dl = 94.6730600003882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41525449--1.41526935) × R
    1.48600000000609e-05 × 6371000     		dr = 94.6730600003882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60508287-2.60517875) × cos(-1.41525449) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154915417604101 × 6371000     		do = 94.6303121182211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60508287-2.60517875) × cos(-1.41526935) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154900736980827 × 6371000     		du = 94.6213444377666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41525449)-sin(-1.41526935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154915417604101-0.154900736980827)×R²
    abs(2.60517875-2.60508287)×1.46806232744212e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46806232744212e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46806232744212e-05×40589641000000     		ar = 8958.51671830115m²