Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59940 / 41508
↖ ↑ ↗
← N 54.920828°
W 15.369873°		 ← 175.53 m → N 54.920828°
W 15.367126°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.919250°
W 15.369873°		 ← 175.54 m →
30 810 m²		 N 54.919250°
W 15.367126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457309722900391 y=0.316684722900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457309722900391 × 217)
    floor (0.457309722900391 × 131072)
    floor (59940.5)     		tx = 59940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316684722900391 × 217)
    floor (0.316684722900391 × 131072)
    floor (41508.5)     		ty = 41508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59940 / 41508 ti = "17/59940/41508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59940/41508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59940 ÷ 217
    59940 ÷ 131072     		x = 0.457305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41508 ÷ 217
    41508 ÷ 131072     		y = 0.316680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.08538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26825489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316680908203125 × 2 - 1) × π
    0.36663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15182782407071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26825489} λ = -0.26825489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15182782407071))-π/2
    2×atan(3.16397080959367)-π/2
    2×1.26467280541421-π/2
    2.52934561082841-1.57079632675     		φ = 0.95854928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26825489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95854928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.920828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59940 KachelY 41508 -0.26825489 0.95854928 -15.369873 54.920828
    Oben rechts KachelX + 1 59941 KachelY 41508 -0.26820695 0.95854928 -15.367126 54.920828
    Unten links KachelX 59940 KachelY + 1 41509 -0.26825489 0.95852173 -15.369873 54.919250
    Unten rechts KachelX + 1 59941 KachelY + 1 41509 -0.26820695 0.95852173 -15.367126 54.919250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95854928-0.95852173) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95854928-0.95852173) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26825489--0.26820695) × cos(0.95854928) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574707799735884 × 6371000     		do = 175.530555018192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26825489--0.26820695) × cos(0.95852173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574730345299679 × 6371000     		du = 175.537441013698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95854928)-sin(0.95852173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574707799735884-0.574730345299679)×R²
    abs(-0.26820695--0.26825489)×2.25455637945515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25455637945515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25455637945515e-05×40589641000000     		ar = 30809.9116441974m²