Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59940 / 30132
↖ ↑ ↗
← N 69.236684°
W 15.369873°		 ← 108.28 m → N 69.236684°
W 15.367126°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 69.235711°
W 15.369873°		 ← 108.28 m →
11 720 m²		 N 69.235711°
W 15.367126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457309722900391 y=0.229892730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457309722900391 × 217)
    floor (0.457309722900391 × 131072)
    floor (59940.5)     		tx = 59940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229892730712891 × 217)
    floor (0.229892730712891 × 131072)
    floor (30132.5)     		ty = 30132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59940 / 30132 ti = "17/59940/30132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59940/30132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59940 ÷ 217
    59940 ÷ 131072     		x = 0.457305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30132 ÷ 217
    30132 ÷ 131072     		y = 0.229888916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457305908203125 × 2 - 1) × π
    -0.08538818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26825489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229888916015625 × 2 - 1) × π
    0.54022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69715799414847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26825489} λ = -0.26825489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69715799414847))-π/2
    2×atan(5.45841248681055)-π/2
    2×1.38960221489827-π/2
    2.77920442979653-1.57079632675     		φ = 1.20840810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26825489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.369873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20840810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.236684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59940 KachelY 30132 -0.26825489 1.20840810 -15.369873 69.236684
    Oben rechts KachelX + 1 59941 KachelY 30132 -0.26820695 1.20840810 -15.367126 69.236684
    Unten links KachelX 59940 KachelY + 1 30133 -0.26825489 1.20839111 -15.369873 69.235711
    Unten rechts KachelX + 1 59941 KachelY + 1 30133 -0.26820695 1.20839111 -15.367126 69.235711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20840810-1.20839111) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20840810-1.20839111) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26825489--0.26820695) × cos(1.20840810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354508360401952 × 6371000     		do = 108.275978312007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26825489--0.26820695) × cos(1.20839111) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.354524246898617 × 6371000     		du = 108.280830457007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20840810)-sin(1.20839111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354508360401952-0.354524246898617)×R²
    abs(-0.26820695--0.26825489)×1.58864966646743e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58864966646743e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58864966646743e-05×40589641000000     		ar = 11720.4107268125m²