Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59939 / 41565
↖ ↑ ↗
← N 54.830754°
W 15.372620°		 ← 175.92 m → N 54.830754°
W 15.369873°		 →
↑
175.90 m
↓
↑
175.90 m
↓
N 54.829172°
W 15.372620°		 ← 175.93 m →
30 946 m²		 N 54.829172°
W 15.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457302093505859 y=0.317119598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457302093505859 × 217)
    floor (0.457302093505859 × 131072)
    floor (59939.5)     		tx = 59939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317119598388672 × 217)
    floor (0.317119598388672 × 131072)
    floor (41565.5)     		ty = 41565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59939 / 41565 ti = "17/59939/41565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59939/41565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59939 ÷ 217
    59939 ÷ 131072     		x = 0.457298278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41565 ÷ 217
    41565 ÷ 131072     		y = 0.317115783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457298278808594 × 2 - 1) × π
    -0.0854034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26830283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317115783691406 × 2 - 1) × π
    0.365768432617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.14909542079237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26830283} λ = -0.26830283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14909542079237))-π/2
    2×atan(3.15533736577751)-π/2
    2×1.26388676049943-π/2
    2.52777352099886-1.57079632675     		φ = 0.95697719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26830283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.372620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95697719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.830754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59939 KachelY 41565 -0.26830283 0.95697719 -15.372620 54.830754
    Oben rechts KachelX + 1 59940 KachelY 41565 -0.26825489 0.95697719 -15.369873 54.830754
    Unten links KachelX 59939 KachelY + 1 41566 -0.26830283 0.95694958 -15.372620 54.829172
    Unten rechts KachelX + 1 59940 KachelY + 1 41566 -0.26825489 0.95694958 -15.369873 54.829172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95697719-0.95694958) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dl = 175.903310000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95697719-0.95694958) × R
    2.76100000000667e-05 × 6371000     		dr = 175.903310000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26830283--0.26825489) × cos(0.95697719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57599362253283 × 6371000     		do = 175.923278397255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26830283--0.26825489) × cos(0.95694958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.57601619222337 × 6371000     		du = 175.93017176169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95697719)-sin(0.95694958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57599362253283-0.57601619222337)×R²
    abs(-0.26825489--0.26830283)×2.25696905391537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25696905391537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25696905391537e-05×40589641000000     		ar = 30946.0932609465m²