Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59939 / 30333
↖ ↑ ↗
← N 69.040090°
W 15.372620°		 ← 109.26 m → N 69.040090°
W 15.369873°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.039107°
W 15.372620°		 ← 109.26 m →
11 938 m²		 N 69.039107°
W 15.369873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457302093505859 y=0.231426239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457302093505859 × 217)
    floor (0.457302093505859 × 131072)
    floor (59939.5)     		tx = 59939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231426239013672 × 217)
    floor (0.231426239013672 × 131072)
    floor (30333.5)     		ty = 30333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59939 / 30333 ti = "17/59939/30333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59939/30333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59939 ÷ 217
    59939 ÷ 131072     		x = 0.457298278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30333 ÷ 217
    30333 ÷ 131072     		y = 0.231422424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457298278808594 × 2 - 1) × π
    -0.0854034423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26830283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231422424316406 × 2 - 1) × π
    0.537155151367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.68752267732484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26830283} λ = -0.26830283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68752267732484))-π/2
    2×atan(5.40607151899104)-π/2
    2×1.38788660123917-π/2
    2.77577320247834-1.57079632675     		φ = 1.20497688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26830283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.372620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20497688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.040090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59939 KachelY 30333 -0.26830283 1.20497688 -15.372620 69.040090
    Oben rechts KachelX + 1 59940 KachelY 30333 -0.26825489 1.20497688 -15.369873 69.040090
    Unten links KachelX 59939 KachelY + 1 30334 -0.26830283 1.20495973 -15.372620 69.039107
    Unten rechts KachelX + 1 59940 KachelY + 1 30334 -0.26825489 1.20495973 -15.369873 69.039107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20497688-1.20495973) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20497688-1.20495973) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26830283--0.26825489) × cos(1.20497688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357714639268889 × 6371000     		do = 109.255258407462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26830283--0.26825489) × cos(1.20495973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357730654417017 × 6371000     		du = 109.26014984593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20497688)-sin(1.20495973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357714639268889-0.357730654417017)×R²
    abs(-0.26825489--0.26830283)×1.60151481278237e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60151481278237e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60151481278237e-05×40589641000000     		ar = 11937.7862863345m²