Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59938 / 86138
↖ ↑ ↗
← S 49.142190°
W 15.375366°		 ← 199.76 m → S 49.142190°
W 15.372620°		 →
↑
199.79 m
↓
↑
199.79 m
↓
S 49.143987°
W 15.375366°		 ← 199.76 m →
39 911 m²		 S 49.143987°
W 15.372620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457294464111328 y=0.657184600830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457294464111328 × 217)
    floor (0.457294464111328 × 131072)
    floor (59938.5)     		tx = 59938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657184600830078 × 217)
    floor (0.657184600830078 × 131072)
    floor (86138.5)     		ty = 86138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59938 / 86138 ti = "17/59938/86138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59938/86138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59938 ÷ 217
    59938 ÷ 131072     		x = 0.457290649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86138 ÷ 217
    86138 ÷ 131072     		y = 0.657180786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457290649414062 × 2 - 1) × π
    -0.085418701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26835076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657180786132812 × 2 - 1) × π
    -0.314361572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.987596005972397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26835076} λ = -0.26835076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.987596005972397))-π/2
    2×atan(0.372471033734615)-π/2
    2×0.356551653023988-π/2
    0.713103306047976-1.57079632675     		φ = -0.85769302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26835076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.375366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85769302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.142190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59938 KachelY 86138 -0.26835076 -0.85769302 -15.375366 -49.142190
    Oben rechts KachelX + 1 59939 KachelY 86138 -0.26830283 -0.85769302 -15.372620 -49.142190
    Unten links KachelX 59938 KachelY + 1 86139 -0.26835076 -0.85772438 -15.375366 -49.143987
    Unten rechts KachelX + 1 59939 KachelY + 1 86139 -0.26830283 -0.85772438 -15.372620 -49.143987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85769302--0.85772438) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dl = 199.794559999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85769302--0.85772438) × R
    3.13599999999248e-05 × 6371000     		dr = 199.794559999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26835076--0.26830283) × cos(-0.85769302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65418405806253 × 6371000     		do = 199.762971963734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26835076--0.26830283) × cos(-0.85772438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654160339063108 × 6371000     		du = 199.755729081921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85769302)-sin(-0.85772438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65418405806253-0.654160339063108)×R²
    abs(-0.26830283--0.26835076)×2.37189994223286e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37189994223286e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37189994223286e-05×40589641000000     		ar = 39910.8315467134m²